0.618法

黄金分割法

0.618法又称黄金分割法，是优选法的一种。是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择。

简介

0.618法是根据黄金分割原理设计的,所以又称之为黄金分割法。

0.618法是一种区间消去法。是对单峰函数，取搜索区间长度的0.618(黄金分割数的近似值)倍，按对称规则进行搜索的方法。每次的试验点均取在区间的0.618(从另一端看是0.382=1-0.618)倍处。它以不变的区间缩短率0.618，代替斐波那契法中每次不同的缩短率。当n→∞时，0.618法的缩短率约为斐波那契法的1.17倍，故0.618法也可以看成是斐波那契法的近似。0.618法实现起来比较方便，效果也比较好，也是优选法中进行单因素试验常用的方法。

同时也是单因素试验设计最常用的方法。已知某试验因素有一个确定了范围的取值域〔a，b〕，0.618法就是先在此区间的0.618处取值，作第一次试验; 然后在0.618的对称点0.382处取值，作第二次试验;比较两次试验的结果，去掉交差点以外的试验因素取值区间，然后在余下的较好试验点的对称点处取值，作第三次试验，再次比较两试验结果，再去掉差点以外的试验因素取值区间，逐步缩小试验范围，找到最佳试验点，确定该因素的最佳取值。

计算方法

两个数a、b间的黄金比例φ满足：

找到φ值的一种方法是从左分数开始。通过简化分数，并在上式中用b/a=1/φ替换，得：

因此，有：

两边同时乘以φ，得到：

即：

使用二次公式，得到上述方程的两个解为：

由于φ是两个数之间的比例，必为正数，所以取值为1.6180339887...。

发展历史

尽管没有可靠的证据，黄金比例至少有2,400年的历史。据马里奥·里维奥：

来自古希腊的毕达哥拉斯和欧几里得的数学思想，通过中世纪意大利数学家莱昂纳多比萨和文艺复兴时期的天文学家约翰内斯·开普勒，以及当今的科学人物，如牛津物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose），花了无数时间超过这个简单的比例及其性质。但对黄金比例的迷恋并不仅限于数学家。生物学家，艺术家，音乐家，历史学家，建筑师，心理学家甚至神秘主义者都在思考和辩论其无处不在和吸引力的基础。事实上，可以公平地说，黄金比率启发了所有学科的思想家，就像数学史上没有其他数字一样。

古希腊数学家首先研究了我们所说的黄金比例，因为它在几何学中经常出现。一条线划分成“极端和平均比”（黄金部分）在常规五角星和五边形的几何中是重要的。欧几里德的元素（希腊语：Στοιχεῖα）提供了称为黄金比例的第一个已知的书面定义：

据说直线被切割成极端和平均的比例，当整条线到更大的段时，越小越小。

欧几里德解释了一个以极端和平均比例（即黄金比例）切割（切片）线的结构。在整个要素中，几个命题（现代术语中的定理）及其证明采用黄金比例。

Luca Pacioli的书De Divina比例（1509）中探索了黄金比例。

蒂宾根大学的迈克尔·马斯特林（Michael Maestlin）写信给他前任学生约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）写道，第一个已知的（反）黄金比例的小数比例被称为“约0.6180340”

自20世纪以来，黄金比例由希腊字母φ（phi，Phidias，一个被称为使用它的雕塑家之后）或更不常见的τ（tau，古希腊根的第一个字母τομή-意思削减）。

应用

美学

De Divina Proportione，Luca Pacioli的三卷作品，于1509年出版。Pacioli，一个方济会的修士，主要是数学家，但他也受过培训，对艺术有浓厚的兴趣。 De Divina Proportione探索了黄金比例的数学。虽然经常说Pacioli主张黄金比例的应用产生令人愉快的和谐的比例，但Livio指出，1799年的解释已被追溯到一个错误，Pacioli实际上主张了维特鲁威系统的理性比例。帕西奥利也看到天主教的宗教意义，这导致了他的工作的头衔。 Pacioi的长期朋友和合作者达·芬奇（Davidi da Vinci）介绍了De Divina Proportione的常规固体插图。这些与黄金比例并不直接相关。

建筑

帕特农神庙的外观以及其外观和其他地方的元素被一些人称为金色矩形。其他学者否认希腊人与黄金比例有任何审美联系。例如，Midhat J.Gazalé说：“直到欧几里得才能研究黄金比例的数学特性，而在元素（公元前308年），希腊数学家只是认为这个数字是一个有趣的非理性数字，与中等和极端的比例，正常五边形和十进制的发生被正确观察，以及十二面体（十二面体是十六面体是正五面体的正多面体）确实是典型的，伟大的欧几里德与几代神秘主义者相反随后，将清醒地对待这个数字，除了事实上的属性之外，还没有附加它。“Keith Devlin说：”当然，反复说，雅典的帕特农神庙是以黄金比例为基础的，事实上，关于希腊人和黄金比例的整个故事似乎没有根据，我们知道的一件事是，欧几里德在他着名的教科书“元素”在公元前300年左右写道，展示了如何计算其价值。“维特鲁威这样的消息来源专门讨论了可以表达整数的比例，即与非理性比例相称。

根据Boussora和Mazouz的说法，早期对凯鲁万大清真寺研究的几何分析揭示了整个设计中黄金比例的一致应用。他们发现计划的整体比例和祷告空间，法院和尖塔的大小的比例接近黄金比例。作者指出，发现与黄金比例接近的比率的地区不是原始建设的一部分，并且将这些要素理解为重建。

瑞士建筑师勒·柯布西耶（Le Corbusier）以他对现代国际风格的贡献而着称，将设计理念集中在和谐与比例制度上。勒柯布西耶对宇宙数学秩序的信念与黄金比例和斐波那契系列密切相关，他所描述的是“节奏明显，彼此间关系清晰，而这些节奏是人类的活动，他们以有机的必然性来回报人，同样精细的必然性，导致了孩子，老人，野蛮人以及学习者从黄金部门追踪的事情。

勒柯布西耶在建模比例尺度上明确地使用了他的模块体系中的黄金比例。他认为这个系统是维特鲁威，维多利亚·达·芬奇的“维特鲁威人”，莱昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂（Leon Battista Alberti）的作品以及其他使用人体比例来改善建筑外观和功能的长期传统的延续。除了黄金比例外，勒柯布西耶还以人体测量系统为基础，斐波纳契数字和双重单位。他以人与人之间的黄金比例提出了一个极端的建议：他将模型人体的身高在肚脐上以黄金比例分为两部分，然后以黄金比例在膝盖和喉咙细分;他在Modulor系统中使用了这些黄金比例。勒柯布西耶的1927年别墅斯坦因（Garin Stein）在Garches中展示了Modulor系统的应用。别墅的矩形地面图，高程和内部结构紧密接近金色矩形。

另一位瑞士建筑师马里奥·博塔（Mario Botta）把他的许多设计基于几何图形。他在瑞士设计的几个私人房屋由正方形和圆形，立方体和圆柱体组成。在他在Origlio设计的房子里，黄金比例是房屋中央部分和侧面部分之间的比例。

在最近的一本书中，作者杰森·艾利奥特（Jason Elliot）推测，Naqsh-e Jahan广场和邻近的Lotfollah清真寺的设计师使用了黄金比例。

从公元前五世纪到公元二世纪的15座寺庙，18座纪念碑，8座石棺和58座墓碑的测量结果显示，公元前五世纪五世纪希腊建筑学中黄金比例完全不存在，在接下来的六个世纪几乎不存在。

绘画

16世纪的哲学家海因里希·阿格里帕（Heinrich Agrippa）在一个圆圈内画了一个五角星，意味着与黄金比例的关系。

莱昂纳多·达·芬奇在“德意志比例”中的多面体插图（“神圣比例”）和他的观点认为，一些人物比例呈现黄金比例，导致一些学者猜测他将黄金比例纳入了他的画作。但是，例如，他的蒙娜丽莎采用黄金比例的建议，并不支持莱昂纳多自己的作品中的任何内容。同样，虽然维特鲁威人经常与黄金比例有关，但是这个数字的比例实际上并不匹配，文中只提到整数比率。

受到Matila Ghyka作品影响的萨尔瓦多·达利在他的杰作“最后的晚餐圣礼”中明确地使用了黄金比例。画布的尺寸是一个金色的矩形。一个巨大的十二面体，从透视角度来说，边缘以黄金比例相互呈现，被悬挂在耶稣之上和之后，大量使用了黄金比例。

据了解，蒙德里安已经在他的几何绘画中广泛使用了黄金部分，尽管其他专家（包括评论家伊夫 - 阿兰·布瓦斯）对此提出异议。

1999年进行的565件不同大画家的艺术作品的统计研究发现，这些艺术家在画布尺寸上没有使用黄金比例。研究得出结论，研究的绘画的平均比例为1.34，个人艺术家的平均值从1.04（戈雅）到1.46（贝利尼）。另一方面，Pablo Tosto列出了着名艺术家的350多件作品，其中包括100多种具有金色矩形和5号比例的帆布，其他具有比例2，3，4和6等级的作品。

示例

如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000—2000克之间，为了求得最恰当的加入量，需要在1000克与2000克这个区间中进行试验。通常是取区间的中点(即1500克)作试验。然后将试验结果分别与1000克和2000克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做试验，再比较端点，依次下去，直到取得最理想的结果。这种实验法称为均分法。但这种方法并不是最快的实验方法，如果将实验点取在区间的0.618处，那么实验的次数将大大减少。这种取区间的0.618处作为试验点的方法就是一维的优选法，也称0.618法。实践证明，对于一个因素的问题，用“0.618法”做16次试验就可以完成“对分法”做2500次试验所达到的效果。

0.618法适用于单峰函数，单峰函数概念：设f是定义在闭区间[a,b]上的一元函数，是f在[a,b]上的极小点，并且对任意的，[a,b]，<,有当时，，当时，，则称f是闭区间[a,b]上的单峰函数。

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