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一维射影变换

数学术语

一维射影变换(one-dimensional projective transformation)是指重叠一维基本形之间的射影对应。如果平面上两个同类的一维基本形(同为点列或线束)是同底的或同心的，则称为重叠的一维基本形，两个重叠的一维基本形的射影对应，也就是一个一维基本形到自身的射影对应称为一维射影变换。射影变换是射影对应的特殊情形，因此其代数表达式也是非奇异线性变换(参见“射影变换”)，射影对应还可用参数法表示，即两个一维基本形(同为点列和线束)A+λB与A+λ′B成射影对应的充要条件是任何元素的参数λ与对应元素的参数λ′之间满足双线性方程aλλ′+bλ+cλ′+d=0，其中a，b，c，d为常数且ad-bc≠0。反之，若λ，λ′满足双线性方程，则A+λB与A+λ′B间的对应是射影对应。

一维射影变换的定义
对应是指两个集合的元素之间的关系，而变换则是指同一个集合的元素之间的关系．
定义1 一个一维基本形到其自身的射影对应称为一维射影变换。
此时可把一个一维基本形看作两个重叠的一维基本形，即两个同底的点列或者两个同束心的线束。为了说清楚元素与其像元素，我们常常把同一个一维基本形看作两个一维基本形，一个是变换前的，叫做第一基本形；一个是经射影变换作用之后的，叫做第二基本形，这样，当我们研究一个一维基本形上的射影变换时，这个基本形中的每一个元素就都有着双重身份，既是第一基本形的元素，又是第二基本形的元素。
显然，射影变换是特殊的射影对应，所有关于射影对应讨论的结果都适用于射影变换。
一维射影变换的参数表示
一维射影变换的代数表示式就是
此时，其中对应点的坐标是在同一坐标系下取得的。我们来给出另一种重要的表示方法，即参数表示。
定义2 形如的方程称为关于的双线性方程。
显然，一维射影变换的非齐次坐标表达式为一个双线性方程。
定理1 一维基本形上的一个变换为射影变换其对应元素的参数满足一个双线性方程
证明：因为点列和线束的非齐次参数表示具有完全相同的代数结构，所以在本定理的证明中无需特别指明所论一维基本形是点列还是线束。
“”设两个重叠的一维基本形。取定基元素A，B，则对任意的，有。设此射影对应由(i=1，2，3，各不相同)决定，而与为任一对对应元素。据Steiner定义，有
由此可以推出之间的关系必定形如(2)，其中必有ad-bc≠0，否则由ad-bc=0可以推出，从而代入(2)，对任意的，总有，与射影对应为双射矛盾。
“”由(2)式成立，可直接验证其满足Steiner定义，即(2)所决定的变换是双射，且保持任意四对对应元素的交比不变，证明从略。
我们把(2)称为一维射影变换的参数表示。对于一维射影对应，利用参数表示常常会比用代数表示式(1)更有其方便之处。
双线性方程(2)可以取作一维射影变换的定义，并且，从代数的角度说，这个定义可以不限于点列，对线束也成立。
在定理1的证明过程中，若舍弃重叠条件，结论仍然成立．故(2)也可以作为一般的一维射影对应的定义，即使是两个不同类的一维基本形也同样适用。
一维射影变换的分类
不变元素
所谓不变元素，是指在一个变换下保持不变的元素。对不变元素的研究，历来是各种几何学的重要内容。
定理2 在复数范围内，任一个一维射影变换至少有一个不变元素，非恒同的一维射影变换具有不多于两个的相异不变元素。
证明：在(2)中，令，得到
这就是求一维射影变换的不变元参数的方程，在复数范围内，这个方程显然有至多两个根，每一个对应着一个不变元素。
一维射影变换分类
考察(3)，其有根情况为
(1) 两个相异的实根, 对应着射影变换(2) 有两个相异的实不变元素；
(2) 两个相等的实根λ1，射影变换有两个重合的实不变元素， 或者说只有惟一不变元素；
(3) 两个共轭虚根，射影变换有两个共轭的虚不变元素。
定义3设为一维射影变换，如果有两个相异的实不变元素，则称之为一个双曲型射影变换；如果有两个重合的实不变元素，则称之为一个抛物型射影变换；如果有两个共轭的虚不变元素，则称之为一个椭圆型射影变换。
不变元素的性质
关于双曲型、椭圆型射影变换和抛物型射影变换，分别有下列两个结论成立．
定理3 若一个一维射影变换具有两个相异的不变元素，则任一对相异的对应元素与两个不变元素所成的交比为常数，称为此射影变换的特征不变量。
证明： 设X，Y为一维基本形射影变换的两个相异的不变元素，P,P'为任一对对应元素(非不变元素)，只要证(PP'，XY)=常数。
设X，Y，P，P'的坐标依次为，则这四点的参数分别为，代入(2)式并计算可求出，故
(PP'，XY)= =常数.
所以一维射影变换(2)的特征不变量为。
定理4设一维抛物型射影变换的不变元素参数为，而为任一对相异对应元素的参数，则
(常数).
证明：欲证之式可以变形为
因为为方程
的二重根，也即
的二重根。因而
代入双线性方程
得
在此式中令
(=常数)，
化简即得（4）式。
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