代数语义学

形式语义学的分支

代数语义学是形式语义学的一个分支，是用代数方法研究计算机语言的语义。始于对抽象数据类型的研究，数据类型是计算机语言中的重要组成部分。用代数结构描述数据类型的语法，用公理体系描述数据类型的语义，就形成了完整的抽象数据类型，并出现了研究这种结构的代数语义学。

简介

形式语义学的一个分支，用代数方法研究计算机语言的语义。它把计算机语言形式地定义为满足某种公理体系的抽象代数结构，然后利用这种代数结构的性质来证明用该语言编写的程序的正确性。

代数语义学始于对抽象数据类型的研究。数据类型是计算机语言中的重要组成部分。但在60年代中期以前一直缺少科学的定义。它被认为仅仅是一些数据的集合，这种观点不能反映数据类型的内在数学特性，因而不能用来检验程序的正确性。1967年问世的SIMULA67语言，第一次提出类程的概念，把数据和被允许施行于这些数据之上的运算结合起来，它是现代抽象数据类型的开始，但当时未引起足够重视。70年代初，软件危机促使人们去研究编写和验证正确的程序的理论和技术。在当时出现的一些新语言中，进一步把数据类型的特性与它的具体表示及实现方式分开来，提高了它的抽象程度。在这种思想指导下，用代数结构描述数据类型的语法，用公理体系描述数据类型的语义，就形成了完整的抽象数据类型，并出现了研究这种结构的代数语义学。

基调和Σ代数

用S 表示由一组称为类子的元素构成的集合，用O表示由一组运算符构成的集合，则O中每一元素均可表示为： S1×S2×…×Sk─→Sk+1

其中Si∈S(1≤i≤k+1)，箭头左边是运算的变元，右边是运算的结果。变元可以为空集，此时它是零元运算符。对偶Σ=(S,O)称为基调,它确定数据类型的基本语法结构。

给S中的每个类子 Si赋以一个元素集合A捴,给O中的每个k元运算符Oi赋以一个函数fi(x1，x2，…，xk)，其中xj∈A捿,1≤j≤k,fi(x1，x2,…，xk)∈A +1。令A={A捴},F={fi},则对偶ΣA,F={A,F}称为以Σ为基调的一个Σ代数。A捴称为Σ代数的载体。

Σ代数是一种非齐性代数。非齐性代数是比克霍夫和李普森在1970年作为对以前的齐性代数的推广而提出的。在这种代数里，元素集被分成几个互不相交的子集。每个代数运算均以特定的子集为其定义域和值域。非齐性代数是代数语义学的主要工具。

例如，为了定义数据类型“整数堆”，需要三种类子：S1=bag，S2=int，S3=bool和四个运算符　empty：　 ─→bag

insert：　bag×integer ─→bag

remove：　 bag×integer ─→bag

element：　 bag×integer ─→bool

其中empty是零元运算符,又是载体AS1中的元素。AS1={empty，…},AS2={…,-2,-1，0,1，2,…}，={True，False}。AS1中的其他元素通过反复执行上述运算而得。

Σ代数的层次结构

Σ和Σ是两个具有相同基调的Σ代数。如果存在单值映射φ，把A1映为A2,F1映为F2，且对任意的 ɑ1，ɑ2,…，ɑn∈A1及f1∈F1有φ(f1(ɑ1，…,ɑn))=f2(φ(ɑ1),…,φ(ɑn)), 其中f2∈F2,φ(f1)=f2。则称φ为Σ到Σ的一个同态映射, 如果把它看成态射，则对应于同一基调的所有Σ代数构成一个范畴。

如果存在一个Σ代数,表为Σ1,它属于以某个Σ为基调的范畴C，使得对C中的每个Σ代数Σi都存在一个唯一的同态映射φi:Σ1─→Σi,则称Σ1为C中的初始代数。如果存在另一个Σ代数Σ2，使得对C中每个Σj,都存在一个唯一的同态映射φj:Σj─→Σ2,则称Σ2为C 中的终结代数。初始代数和终结代数在同构意义下都是唯一的。

在上面所说的情况下，这两种代数都是存在的。若载体集 A中的任何元素彼此都不等价，即可得初始代数，又称项代数。如果每个类子Si只对应一个元素ɑi，即可得终结代数。

语义

对S中的每个类子Si,取一组自由变量Xi与之对应,X={Xi}。设ei(x)表示在函数集F对变量集 X的作用下，所得到的全部属于类子Si的表达式集合，e(x)={ei(x)}，则Σ代数Σ称为X上的自由Σ代数。对任意的i和任意的t1,t2∈ei(x),公式t1=t2称为一个公理。令 E为由任意一组无矛盾的公理构成的集合，对偶{Σ，E}称为一个抽象数据类型。

若E+为E的闭包，E+定义了e(x)上的一个等价关系。此等价关系随赋值X←A而传递给载体集A，引导出A上的一个等价关系。令等价类集为A′，定义对偶{,E+}为，则也是一个Σ代数，称为，的商代数。所有满足公理系统 E+的∑代数构成一个范畴，可以证明商代数就是这个范畴中的初始代数，它被用来定义抽象数据类型的语义。初始代数只是抽象数据类型(,E+)的一个模型，也有用其他模型，例如终结代数，来定义它的语义的。　程序设计语言的代数语义　把一个程序设计语言看成是抽象数据类型，就可以用代数方法来描述它的语义。具体作法是:使每个语法符号对应S 中的一个类子,每个语法规则对应O 中的一个运算。又使语义关系对应公理系统E。但这样做还有一个困难,即上下文条件难以表达。为此要把同态映射扩充为弱同态，即允许同态映射由部分函数实现。在一定的条件下，弱同态意义下的终结代数是存在的，并等价于程序的最小不动点语义。

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