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克鲁斯卡尔坐标系

在史瓦西度规下建立的坐标系

克鲁斯卡尔坐标系（或称作克鲁斯卡尔-塞凯赖什坐标系，英文Kruskal coordinates或Kruskal-Szekeres coordinates）是在史瓦西度规下建立的一种坐标系，名称来自于美国数学物理学家马丁·克鲁斯卡尔（Martin Kruskal）和匈牙利-澳大利亚数学家乔治·塞凯赖什。这种坐标系的优点在于它能够涵盖整个时空流形，使得奇点之外的所有点在坐标系中都存在定义，也就是说它能够将原有的在球坐标系下的史瓦西度规最大限度地推广到整个时空中。

定义
考虑在球坐标系下的史瓦西度规
其中
是二维球面的线元。
将时间坐标t和径向坐标 做如下代换：
对于视界外部 r>2GM的区域，
对于视界内部0
在这些坐标下，史瓦西度规由下式给出：
其中r的定义被隐含在
或等价于
其中W是朗伯W函数。
这组由构成的坐标系称作Kruskal坐标系，有时也称作Kruskal-Szekeres坐标系。
Kruskal图
Kruskal坐标的性质
史瓦西黑洞的视界位于r=2GM，此时
的右面为零，从而有。即史瓦西黑洞的视界在T-R平面上是两条45°的对角线。对于一般的常数r，可以得到。即它们是T-R平面上的一组双曲线。
对于一般的常数 t，。它们是通过原点的斜率为的直线。注意到当时，从而等价于的情形。这表明和r=2GM描述的是同一个面。
Kruskal图
Kruskal图上的每一点都代表了一个二维球面。从图中可以看到：
径向坐标 r可以从正无穷大连续变化到零，中间经过视界r=2GM。其中经过R轴的双曲线对应着r>2GM的情形，经过T轴的双曲线对应着 r<2GM的情形，双曲线的两条渐近线对应着r=2GM的视界。 r=0对应着黑洞的奇点，而在那以外的部分时间和空间坐标都没有定义。
时间坐标t可以从负无穷大连续变化到正无穷大，其范围涵盖了两条渐近线（两条45°的对角线）所夹的包含R轴的部分，即在这范围内通过原点的所有直线。R轴对应着时间坐标t=0的直线。
在Kruskal坐标下，R具有从负无穷大到正无穷大的连续定义，T也一样，但两者在灰色区域仍然没有定义。
参见
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