函数的连续性

函数简介

一元连续函数　设函数f(x)在x＝α附近（包括x=α处）有定义。若 ，　　　 (*)亦即：对任给ε＞0，必有 δ＞0存在，使当｜ x- x 0｜＜ δ时，恒有｜ f( x)- f( α)｜＜ε，则称 f( x)在 x＝ α处 连续， α为 f( x) 的 连续点。 　　如在(*)中，x→α改为x→α-0或x→α+0，即限定x＜α或x＞α，则称f(x)在x=α处左连续或右连续。显然f(x)在x=α处连续的必要充分条件为它在α处左、右都连续。 　　如 存在，但 A≠ f( α)或 f( α)没有意义，则称 f( x)在 α处为可去间断（可去不 连续），因为这时只要改变或补充定义 f( α)使其等于 A就可使它变得在 α处 连续；因此，这种不 连续常常算作是 连续 的。如果 x→ α时，则称 f( x)在 α处有第一类间断， B- A称为其跃度。不属于上述情况 的不 连续点都称为第二类间断。 　　如果f(x)在一开区间(α，b)内每一点都连续，则称f(x)在开区间(α，b)内连续。f(x)在一闭区间[α，b]上连续是指：在开区间(α，b)内连续，而在α处右连续和b处左连续。 　　由此可确切定义几何名词连续曲线。设平面曲线C可写成参数方程 x=x(t)，y=y(t) (α≤t≤β)， 其中 x( t)、 y( t)都是[ α， β]上的连续函数，则称 C是 连续曲线。此定义显然可推广到空间曲线甚至一般 的 n维空间中 的曲线上去。 　　连续函数的性质　 　　① 如f(x)、g(x)都在x=α处连续，则f(x)±g(x)，f(x)g(x)， （只要 g( α)≠0）也在 x= α处 连续。 　　② 如f(x)在x=α处连续，且f(α)≠0，则必在x＝α的某一小δ邻域（即|x-α|＜δ）中，f(x)不变号，即f(x)与f(α)同号。 　　③ 在闭区间上的连续函数，必有上界和下界，且有最大值和最小值，并能取最小值和最大值之间的一切中间值。 　　还可证明，所有初等函数在其有定义的区间上都是连续的。 　　设I为一闭或开的区间，如果任给ε＞0，必有δ＞0存在，使对I中任何两点x，x′，只要|x-x′|＜δ，便有｜f(x)-f(x′)|＜ε，则称f(x)在I上一致连续。关于一致连续性有下面的重要定理：在闭区间上的连续函数一定在该区间上一致连续。这一定理有时称作康托尔定理。 　　多元连续函数　设 为一 n元 函数，这里 x=( x 1， x 2，…， x n)为 n维向量或 n维空间中一点，而 α=( α 1， α 2，…， α n)为一定点。如果(1)式成立，亦即对任给ε＞0，必有 δ＞0存在，使当 或者 时，恒有 ｜f(x)-f(α)｜＜ε ，则称 f( x)在 α处 连续。也可类似地定义 f( x)在 n维区域 G中 连续和一致 连续。不过，当 α是 f( x)定义域 G边界上 的一点时，在上面定义中要限制 x在 G及其边界上。 　　一元连续函数的上述性质都可推广到多元函数上来，康托尔定理这时也成立，不过在其中区间I要换成有界闭区域。和连续曲线类似，也可定义连续曲面等等。 　　以上连续函数的定义也可推广到复变量的复函数上来（见复变函数）。 　　连续函数的定义还可推广到一般抽象的拓扑空间的情况。设X，Y是两个拓扑空间，f：X→Y是把X映入Y的一个映射，又α∈X，如果对于fα∈Y的任一邻域 ，存在着 α 的一邻域 U α，使 ， 则称 f在 α点 连续。如果 f在 X中 的每一点都 连续，则称 f为 X到 Y 的一 连续映射。