切点

几何学术语

在几何学中，在给定点处的平面曲线的切线是在该点处“刚好接触”曲线的直线。莱布尼兹将其定义为通过曲线上一对无限封闭的点的线。更准确地说，如果直线通过曲线上的点（c，f（c）），则直线被称为在曲线上的点x = c处的曲线y = f（x）的切线，并且具有斜率f'（c），其中f'是f的导数。类似的定义适用于n维欧几里德空间中的空间曲线。

简介

在几何学中，在给定点处的平面曲线的切线是在该点处“刚好接触”曲线的直线。莱布尼兹将其定义为通过曲线上一对无限封闭的点的线。更准确地说，如果直线通过曲线上的点，则直线被称为在曲线上的点处的曲线的切线，并且具有斜率，其中是的导数。类似的定义适用于n维欧几里德空间中的空间曲线。

通过切线和曲线相交的点，称为切点，切线与曲线“以相同的方向”，因此切点是曲线上的最佳直线近似点。

类似地，在给定点处的表面的切平面是在该点处“正好接触”表面的平面。切线的概念是微分几何中最基本的概念之一，并被广泛推广。

“切线”一词来自拉丁语tangere，意为“触摸”。

历史

欧几里德在元素的第三卷（公元前300年）中提到了圆圈的切线，在阿波罗尼奥斯（Apollonius）的工作中（公元前225年），他将切线定义为一条直线，使得其中没有其他直线可能落在它和曲线之间。

阿基米德（公元前287年至公元前212年）通过考虑沿着曲线移动的点的路径，发现了阿基米德螺旋线的切线。

在16世纪30年代，费马公司开发了足够的技术来计算分析中的切线和其他问题，并用它来计算抛物线的切线。他的技巧和和之间的差除以h是相似的。笛卡尔使用他的法线方法，基于圆的半径总是与圆本身正交。

这些方法导致了17世纪差异演算的发展。许多人贡献罗伯瓦尔（Roberval）发现的一种绘制切线的一般方法，通过考虑由移动点描述的曲线，其运动是几个更简单的运动的结果。René-Françoisde Sluse和约翰内斯·胡德发现了用于找到切线的代数算法，进一步的发展包括约翰·沃利斯和以撒巴罗的展示，产生了牛顿和戈特弗里德·莱布尼兹的理论。

1828年的切线定义是“一条曲线接触的线，但是当它产生时，它不会切割”。这个旧的定义可以防止拐点有任何切线。现代定义与莱布尼兹的定义相当，莱布尼兹将线条定义为曲线上一对无限接近的线。

曲线的切线

通过考虑通过两个点（A和B）的直线（割线）的顺序，可以使切线“接触”曲线更直观的概念。当点B近似或趋向于A时，A的切线是极限。切线的存在和唯一性取决于某种类型的数学平滑度，称为“可微性”。例如，如果两个圆弧在尖锐点（顶点）相遇，那么在顶点处没有唯一定义的切线，因为割线行进的限制取决于“点B”接近顶点的方向。

在多数点上，切线触及曲线而不穿过曲线（尽管可能，当连续的时候，可以在距离切线的其他地方穿过曲线）。切线（此时）与曲线交叉的点称为拐点。圆形，抛物线形，双曲线和椭圆形没有任何拐点，但是更复杂的曲线确实有像立方函数的图形，它具有正好一个拐点，或正弦曲线，每个时间段有两个拐点正弦。

相反，可能会发生曲线完全位于通过其上的点的直线的一侧，但是该直线不是切线。例如，对于通过三角形的顶点而不与三角形相交的线的情况，由于上述原因，切线不存在。在凸几何中，这样的线称为支撑线。

分析方法

切线是割线的极限。找到图形切线的问题是导致17世纪微积分发展的原因之一。在RenéDescartes的第二本几何书中，说到了构建曲线切线的问题，“我敢说，这不仅是我所知道的几何中最有用和最普遍的问题“。

直观描述

假设曲线给出函数图：。为了在点处找到切线，考虑曲线上的另一个附近点。穿过和的割线的斜率等于差商

随着点接近，这对应于使h越来越小，差商应该接近某个值，这就是在点的切线的斜率。如果k是已知的，则可以以斜坡形式找到切线的方程：

严格描述

为了使上述推理严格，必须解释接近某一极限值的差商的含义。精确的数学公式是由柯西在19世纪给出的，是基于极限的概念。假设该图在处没有断裂或尖锐的边缘，并且在附近既不是垂直的。那么存在k的唯一值，使得随着接近0，差商变得越来越接近，并且如果足够小，它们之间的距离与的大小相比可以忽略不计。这导致将图的切线的斜率定义为函数的差商的极限。这个限制是处的函数f的导数，表示为。使用导数，切线的方程可以表示如下：

微积分提供计算由公式给出的函数的导数的规则，例如功率函数，三角函数，指数函数，对数及其各种组合。因此，所有这些函数的图形的切线方程以及许多其他方程式可以通过微积分方法找到。

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