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区间

数学概念

在数学里，区间通常是指这样的一类实数集合：如果x和y是两个在集合里的数，那么，任何x和y之间的数也属于该集合。例如，由符合0 ≤ x ≤ 1的实数所构成的集合，便是一个区间，它包含了0、1，还有0和1之间的全体实数。其他例子包括：实数集，负实数组成的集合等。

记号
通用的区间记号中，圆括号表示“排除”，方括号表示“包括”。例如，区间(10, 20)表示所有在10和20之间的实数，但不包括10和20。另一方面，[10, 20]表示所有在10和20之间的实数，以及10和20。而当我们任意指一个区间时，一般以大写字母 I 记之。
有的国家是用逗号来代表小数点，为免产生混淆，分隔两数的逗号要用分号来代替。例如[1, 2.3]就要写成[1; 2,3]。否则，若只把小数点写成逗号，之前的例子就会变成 [1,2,3] 了。这时就不能知道究竟是 1.2 与 3 之间，还是 1 与 2.3 之间的区间了。
在法国及其他一些欧洲国家，是用 与 代替 与 。比如 写成 ， 写成 。这种写法原先也包括在国际标准化组织编制的ISO 31-11内。ISO 31-11是一套有关物理科学及科技中所使用的数学符号的规范。在2009年，已由新制订的ISO 80000-2所取替，不再包括 与 的用法。
定义
用集合的语言，我们定义各种区间为：
注意 均是代表空集，单元素集合不能用区间表示，如集合{0}不能表示为[0]或[0,0]。而当a＞b时，上述的四种记号一般都视为代表空集。区间不为空集时，a, b称为区间的端点。一般定义 b - a 为区间的长度。区间的中点则为 (a+b)/2。
区间[a,b]有时也称为线段。（不为空集或单元素集的话）
除了表示区间，圆括号和方括号也有其他用法，视乎语境而定。譬如 也可表示集合论中的有序对丶解析几何中点的坐标，线性代数中向量的坐标，有时也用来表示一个复数，有时在数论中，用 表示整数 的最大公约数。 也偶尔用作表示有序对，尤其在计算机科学的范畴里。同样在数论里，用 表示整数 的最小公倍数。
有部分作者以 来表示区间 在实数集里的补集，即是包含了小于或等于a的实数，以及大于或等于b的实数。
无限区间
我们可以用 符号来表示区间在某方向上无界。具体定义如下：
特别地， 表示正实数集，亦记作 。 则表示了非负实数集。
如果区间是单侧无界，也称为射线或半直线。如果它包含有限端点，则称其为闭射线或闭半直线。如果不包含有限端点，则称其为开射线或开半直线。
一般使用的便是以上五种记号，而 等的写法则相当少见。有的作者假定区间为实数集的子集，对于他们来说，这些写法要麽是无意义，要麽就是跟用圆括号的意思没两样。在後者的情况下，我们可以写作 。于是实数集可被视为又开又闭的区间。
如果我们考虑扩展的实数轴，那么这四种写法是有数的区间。
一般而言，对于整数a,b，具体写作： 。
除了[a..b]，也有{a..b}和a..b的写法，意思一样。
[a..b]的记号被用于一些程式语言，例如Pascal和Haskell。
如果一个整数区间是有界的话，那麽它必然包含最小数a和最大数b。因此，如果想定义去掉最小数或最大数的区间，只需用[a..b-1], [a+1..b]或[a+1..b-1]表示。无需像实数区间般引进 [a..b)或(a..b)的记号。
分类
实数区间一共可分成11种，如下所列。其中a,b是实数，且a为区间的左端点，b为区间的右端点。
1. 空集：
2.退化区间 (degenrate interval)：
有界区间
3. 闭区间：
4. 开区间：
5. 左闭右开区间：
6. 左开右闭区间：
单侧无界
有下界但无上界：
7. 左闭：
8. 左开：
有上界但无下界：
9. 右闭：
10. 右开：
11. 双侧无界：
#1、#4、#8、#10、和#11可称为“开区间”（标准拓扑下是开集），#1、#2、#3、#7、#9和#11可称为“闭区间”（标准拓扑下是闭集）。#3和#4有时称为“半开区间”或“半闭区间”。#1和#11同时为“开”和“闭”，并非“半开”、“半闭”。
区间表示法
区间表示法是指在实数线上，以视觉化的方式表示出一个区间的范围。亦指以区间形式给出（含有一个未知数x的）不等式的解集。
性质
上述的各种区间正是实数轴上的全体连通子集。由此可推得，一个区间在连续函数下的像也是一个区间，这是介值定理的另外一个表述。
区间也恰好涵盖了实数集的所有凸的子集。另，设X是 的一个子集，如果Y是包含X的最小闭区间（即如果 Z是另一个包含X的闭区间， Y也包含于Z）， 便是Y的凸包。实际上， 。
任意一组区间的交集仍然是区间。两个区间的并集是区间，当且仅当它们的交集非空，又或者一个区间所不包含的端点，恰好是另一个区间包含的端点。例如： 。
如果把 当作度量空间，它的开球便是区间 （r为正数），闭球便是区间 。
定义推广
多维区间
一个n维区间可定义为 的子集，其为n个区间的笛卡尔积，即 。
n=2时，一般来说是定义了一个长方形，它的长和宽分别平行于两条坐标轴。n=3时，一般的是定义了一个长方体，它的各边同样是平行于坐标轴。
复数区间
复数的区间可定义成复平面上的一个区域，两种合理的选择是长方形或圆盘。
区间算术
区间算术又称区间数学、区间分析、区间计算，在1950、60年代引进以作数值分析上计算舍去误差的工具。
区间算术的基本运算是，对于实数线上的子集 及 ：
[a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]
被一个包含零的区间除，在基础区间算术上无定义。
区间算术的加法和乘法符合交换律、结合律和子分配律：集X ( Y + Z )是XY + XZ的子集。
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