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半角公式

计算公式

半角公式是利用某个角的三角函数值，来求其半角的三角函数值的公式。其可以视为二倍角公式的推论。在实际使用中需注意自行判断符号的正负。

公式内容
半角公式一般是指下面的一组公式：
半角正弦公式
半角余弦公式
半角正切公式
其中，正负的取值要根据角的大小进一步判断
公式推导
从二倍角公式出发即可依次得到上述的所有公式。
已知余弦的二倍角公式：
移项后，将替换为，立得：
对于正切，只需将上述两式的左右两边相除：
最后证明，对上述推导得到的正切半角公式作如下处理即可：
最后由于，，同时经讨论易得与取值的正负是一致的。于是去平方后有：
综合以上，所有半角公式得证。
应用举例
例1 求的值。
解：首先由于的终边位于第一象限内，故，代入半角公式得：
例2 已知，，求的值。
解：首先，故，代入半角公式得：
例3 已知等腰三角形顶角的余弦值为，求底角的正切值。
解：首先等腰三角形的底角的正切值，恰为顶角的半角的余切值（余切值为正切值的倒数），且必定大于零。设底角为则有：
从而。
锐角情形的平面几何推导
如图所示，当为锐角时，半角公式可以用平面几何的方法推导出来。以下是一个例子：
在上图中，是圆的切线，且，。设圆的半径为，在直角三角形中，，，，。于是：
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