华氏定理

数学家华罗庚的研究成果

“华氏定理”是我国著名数学家华罗庚的研究成果。华氏定理为：体的半自同构必是自同构自同体或反同体。数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”；另外他与数学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华—王方法”。

定理介绍

华氏定理（1940）命q是一个正整数，f(x)=akxk+...+a1x 为一个k次整系数多项式且最大公约（ak, ...,a1,q）=1,则对于任何 ε＞0皆有华氏定理溯源于高斯（C.F. Gauss）他首先引进f(x)=ax2 的特例情况，

即所谓高斯和: S(q, ax2),(a,q)=1,

并得到估计 S(q, ax2)=O(q1/2).

高斯引进并研究高斯和的目的在于给出初等数论中非常重要的二次互反律一个证明。以后，不少数学家企图推广高斯和及他的估计，但他们只能对特殊的多项式所对应的S(q, f(s))，取得成功，这一历史名题直到1940年，才由华罗庚解决。

华氏定理是臻于至善的，即误差主阶1-1/k 已不能换成一个更小的数。这只是取f(x)=xk 及q=pk ，p为素数，就可以知道。所以依维诺格拉朵夫称赞华氏定理是惊人的。

华氏定理的直接应用是，可以处理比希尔伯特一华林定理更为广泛的问题：

命N为一个正整数，fi(x)(1≤ i ≤s )是首项系数为正的k次整值多项式，

考虑不定方程 N =f1(x1)+...+fs(xs) (1)

的求解问题，特别取f1(x)+...+fs(x) = xk 即得

N =x1k +...+xsk . (2)

1770年，华林提出猜想：当s＞=s0(k) , (2)有非零非负整数解。华林猜想是希尔伯特于1900年证明的。于是华林猜想就成了著名的希尔伯特一华林定理，但用希尔伯特方法所能得到的s0(k)将是很大的，20年代以后，哈代、李特伍德与依·维诺格拉朵夫用圆法及指数和估计法对s0(k)作了精致的定量估计。用华氏定理基本上可以将依·维诺格拉朵夫关于华林问题的重要结果推广至不定方程（1）, 即假定（1）满足必须满足的条件，则当s＞=s0 =O(Klog K)及N充分大时, （1）有非零非负整解。当s ＞= s0'=O(K2log K) 时，方程（1）的解数有一个渐近公式。

华氏不等式

华氏不等式(1938)命N 为一个正整数，f(x)为一个k次整系数多项式，则 T(a)=∑x=1Ne(af(x))，

则对于任何ε＞0及1≤j≤k 时皆有

华氏不等式的直接应用为不定方程（1），由圆法来处理方程（1），则首先需将方程（1）的解数表示成(0,1), 上的一个积分，然后将(0,1)分成互不相交的优孤与劣孤之并, 优孤上的积分给出（1）的解数的主项，需证明劣孤上的积分是一个低阶项，从而可以忽略不计，这样就得到了解数渐近公式。华罗庚证明了fi(x)（1≤ i ≤s）假定。为满足必须满足的条件的k次整值多项式，则当s ≥ 2k +1 时，方程（1）的解数有一个渐近公式。特别对于华林问题，即方程（2），当s ≥ 2k +1 时，对充分大的N，有非寻常非负解，且解数有渐近公式。当k ≤ 10时，这一结果是华林问题的最佳结果。直到半个世纪之后，基于对华氏不等式的某些改良，沃恩（R.F.Vaughan）与希斯布朗（D.R. Heath-Brown ）才能对华罗庚关于华林问题的结果作点改进，但他们所用的方法却繁得多了。

基于华罗庚关于解析数论的基本方法，即关于指数和估计的华氏定理与华氏不等式，再加上依· 维诺格拉朵夫的韦尔（H. Weyl）和估计与关于素数变数的指数和估计，华罗庚系统地研究了不定方程及其他堆垒问题的求解问题，并限制变数 x1,x2,...xs均取素数值。华罗庚的结果总结在他的专著《堆垒素数论》中，这本书被译成俄文、英文、德文、匈牙利文与日文，它是圆法、指数和估计及其应用方面最重要的经典著作之一。

人物介绍

华罗庚，中国现代数学家。1910年11月12日生于江苏省金坛县。华罗庚1924年金坛中学初中毕业之后，在上海中华职业学校学习不到一年，因家贫辍学，但他刻苦自修数学，1930年在《科学》上发表了关于代数方程式解法的文章，被邀到清华大学工作，开始了数论的研究。

1934年成为中华教育文化基金会研究员。1936年作为访问学者去英国剑桥大学工作。1938年回国，受聘为西南联合大学教授。1946年赴美国，任普林斯顿数学研究所研究员、普林斯顿大学，1948年始，他为伊利诺伊大学教授。1950年回国。

历任清华大学教授，中国科学院数学研究所、应用数学研究所所长、名誉所长，中国数学学会理事长、名誉理事长，全国数学竞赛委员会主任，美国国家科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士，中国科学院物理学数学化学部副主任、副院长、主席团成员，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科协副主席，国务院学位委员会委员等职。

曾任一至六届全国人大常务委员，六届全国政协副主席。曾被授予法国南锡大学、香港中文大学和美国伊利诺斯大学荣誉博士学位。

主要从事解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等领域的研究与教授工作并取得突出成就。

40年代，解决了高斯完整三角和的估计这一历史难题，得到了最佳误差阶估计（此结果在数论中有着广泛的应用）；对G.H.哈代与J.E.李特尔伍德关于华林问题及E.赖特关于塔里问题的结果作了重大的改进，仍是最佳纪录。

在代数方面，证明了历史长久遗留的一维射影几何的基本定理；给出了体的正规子体一定包含在它的中心之中这个结果的一个简单而直接的证明，被称为嘉当-布饶尔-华定理。

其专著《堆垒素数论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法，发表40余年来其主要结果仍居世界领先地位，先后被译为俄、匈、日、德、英文出版，成为20世纪经典数论著作之一。

其专著《多个复变典型域上的调和分析》以精密的分析和矩阵技巧，结合群表示论，具体给出了典型域的完整正交系，从而给出了柯西与泊松核的表达式，获中国自然科学奖一等奖。

倡导应用数学与计算机的研制，曾出版《统筹方法平话》、《优选学》等多部著作并亲自在中国推广应用。与王元教授合作在近代数论方法应用研究方面获重要成果，被称为“华-王方法”。在发展数学教育和科学普及方面做出了重要贡献。发表研究论文200多篇，并有专著和科普性著。

1985年6月12日，华罗庚应邀到日本东京大学作学术报告。他先中文，后改用英语演讲。日本学者被他精彩的演说深深吸引，原定45分钟的报告在经久不息的掌声中被延长到一个多小时。当他满头大汗结束讲话时，突然心脏病发作倒在讲台上。他用行动实践了自己的诺言：“最大的希望就是工作到生命的最后一刻。”

华氏不等式

1936年华罗庚到剑桥大学进修了两年，他师从哈代，积极参加剑桥大学数论小组的学术讨论班活动，迅速进入到该领域前沿。华罗庚潜心研究数论的重要问题，解决了华林（Waring）问题，他利（Tarry）问题等数学难题，其杰出才华在剑桥沃土上显露出来，在国际数学界引人注目。

华罗庚抓紧这两年的时间，学习非常刻苦努力，写了十八篇关于“华林问题”、“他利问题”，“奇数的哥德巴赫问题”的论文，先后发表在英、苏、印度、法、德等国的杂志上。他的工作成绩得到了大家的认可与赞许。其中他的最有名的一篇论文“论高斯的完整三角和估计问题”，代表了他的工作在这个领域的有着长期与重要的影响。

苏联数学家维诺格拉朵夫（1891-1983），从1934年至1983年一直担任苏联科学院斯捷克洛夫数学研究所的所长。他对韦尔和的估计方法及以素数为变数的指数和估计方法自30年代以来，对数论发展产生了深刻的影响。他在堆垒数论方面得到不少深刻的结果，尤其是他对奇数的哥德巴赫猜想的基本解决及关于华林问题的结论是最为有名。

维诺格拉朵夫的主要成就是发表在30年代，这也是华罗庚进入数论研究的高峰时期。他认真学习了维诺格拉朵夫的方法，虽然华罗庚是自学维诺格拉朵夫方法的。但他对这个方法的了解和贡献却不在旁人之下。维诺格拉朵夫在他的书《数论中的三角和方法》的序言中，提到这个方法是我与柯坡尔特、朱达柯夫、华罗庚及其他人一起合作得出的。

华罗庚最重要的数论工作当然还是他自己独创性的工作。

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