厄米算符

物理学名词

在数学里，作用于一个有限维的内积空间，一个自伴算子(self-adjoint operator)等于自己的伴随算子；等价地说，表达自伴算子的矩阵是埃尔米特矩阵。即厄米算符表达了一个厄米矩阵(Hermitian Matrix)。

简介

埃尔米特矩阵等于自己的共轭转置。根据有限维的谱定理，必定存在着一个正交归一基，可以表达自伴算子为一个实值的对角矩阵。

量子力学中，可以观测的物理量要用厄米算符来表示。算符的厄米性不仅对算符有了很大的限制，而且对波函数也有一些限制。。

物理学

量子力学中的力学量用算符来表示，而实验上的可观测的物理量用厄米算符来表示。因此，要弄清物理量的特点，研究厄米算符的性质就显得尤为重要。此外，在很多量子力学教材中，算符的厄米性通常被认为主要是对算符的限制，而很少关注或说明算符的厄米性对波函数的限制，甚至有很多不准确的表述。其实，为了保证算符的厄米性，常常要求波函数满足一定的条件。

基本内容

定义及性质

其中ϕ ψ 、是任意波函数，则称算符为厄米算符。

厄米算符具有一些重要的性质：

（1）在任何状态下，厄米算符的本征值必为实数；

（2）在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符；

（3）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交；

(4) 厄米算符的本征函数具有完备性。

量子力学中力学量用厄米算符来描述

量子体系中的可观测量（力学量）用线性厄米算符来描述是量子力学的一个基本假设，其正确性应该由实验来判定。

量子体系中的力学量用相应的线性厄米算符来描述”具有多方面的含义：

一，算符的线性是状态叠加原理所要求的；

二，实验上的可观测的力学量总是实数，力学量相应的算符必须是厄米算符；实际上，这种要求是有些过分了，即使某个力学量的算符不是厄米算符，只要它的本征值是实数即可，但是这样做的结果会使本征矢变成超完备的，以致不便于使用。

三，量子力学里测量值通常不是唯一确定的值，而是具有一定概率分布的一系列的值，这些测量值的平均值可用

（ψ 已经归一化）来表示；

四，力学量之间的关系也可通过相应算符之间的关系（如对易关系）来反映出来。

基于以上三点，量子力学中的力学量用厄米算符来描述。

厄米算符与经典的对应

我们知道算符的性质可用矩阵来表示，那么厄米算符对应怎样的矩阵

呢？

从厄米算符是定义出发：

但是需要指出的是，以线性厄米算符表示力学量扩充了量子力学中力学量的范围，除了有经典的对应的力学量外，即使经典物理中没有相应的力学量，但只要是线性厄米算符，在微观世界中有意义，诸如宇称、自旋、同位旋等，也都是力学量。

算符的厄米性对波函数的限制

实验上的可观测的物理量都是厄米算符，为了保证算符的厄米性，常常要求波函数满足一定的条件。接下来，下文将在一些文献的基础上，以常见的几种一维算符为例，对此做一些探讨。

量子力学中的常见算符

量子力学中的常见算符有坐标算符、动量算符、能量算符、角动量算符等等，对于宇称算符、自旋算符以及同位旋算符，这里我们不讨论。从这些常见的算符出发，分析它们对波函数的限制，再利用厄米算符的一些性质（如两厄米算符之和仍为厄米算符，可対易的两厄米算符之积仍为厄米算符）来研究更广泛的算符，以期得到普遍的结论。

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