奇异摄动问题

数学名词

奇异摄动问题是指数学上一个含有小参数的问题，但不能够直接以把小参数设为零来求得所有近似解的问题。在描述奇异摄动问题的方程里，小参数作为系数出现在含有最高阶次方或导数项里，如果按照常规摄动法把小参数设为零，将会导致方程降阶从而不能得到所有的近似解。

简介

奇异摄动问题是指数学上一个含有小参数的问题，但不能够直接以把小参数设为零来求得所有近似解的问题。在描述奇异摄动问题的方程里，小参数作为系数出现在含有最高阶次方或导数项里，如果按照常规摄动法把小参数设为零，将会导致方程降阶从而不能得到所有的近似解。奇异摄动的来源是这类问题里存在多个尺度。为了求得在每个尺度上的有效近似解，需要将方程用不同尺度规范化以得到新的方程。而新的方程则可以用常规摄动法来求近似解。奇异摄动方法开端于普朗特的边界层理论。

解析方法

当一个被摄动的问题的解可以用一个渐近展开来作为问题的整个域上的无论是空间还是时间上的近似解时，这样的情形被称作常规摄动. 通常, 一个常规摄动问题的零阶近似解是通过把小参数 ε 设零来求得。这相当于只取渐近展开的第一项以求得相应的近似解。这个方法不能直接作为第一步来求解一个奇异摄动问题。如以下的例子所显示，一个奇异摄动问题发生于当问题里的小参数出现在方程的含有最高阶算子的项的系数里†。因此如果幼稚地把小参数设零会改变问题的本质。对于微分方程，部分边界条件将不能被满足；对于代数方程，解的总数被减少了。

奇异摄动方法理论开端于普朗特的边界层理论，是一个丰富的并持续发展的供数学、物理、及其它学科的工作者们探索的领域。现存的解决奇异摄动问题的方法有几种。对于空间域上的问题，有匹配渐近展开法和WKB近似法；对于时间域上的问题，有庞加莱－林德斯泰特方法（Poincare-Lindstedt）、多尺度方法（multiple-scale）、和周期平均方法(periodic averaging)。

庞加莱－林德斯泰特方法

庞加莱－林德斯泰特方法（英语：Poincaré–Lindstedt method）是摄动理论中一种当正则摄动法失效时求解常微分方程的近似周期解的方法，可以在弱非线性振动问题中消除正则摄动法中出现的长期项。

该方法是以数学家昂利·庞加莱与安德斯·林德斯泰特的名字命名的。

WKB近似

在量子力学里，WKB近似是一种半经典计算方法，可以用来解析薛定谔方程。乔治·伽莫夫使用这方法，首先正确地解释了阿尔法衰变。WKB近似先将量子系统的波函数，重新打造为一个指数函数。然后，半经典展开。再假设波幅或相位的变化很慢。通过一番运算，就会得到波函数的近似解。

匹配渐近展开法

匹配渐近展开法（英语：method of matched asymptotic expansions）是数学中用于获得方程或方程组高精度近似解的一种常用方法，尤其常用于奇异摄动微分方程的求解。

对于许多奇异摄动问题而言，可以将定义域分成两个或多个部分。其中一部分（通常是范围最大的部分）可以通过正则摄动理论获得渐近展开级数解。然而这个解在其他较小的部分则十分不精确。如果这些部分处于定义域边界上被称为边界层，处于定义域中间则称为内层。可以将边界层或内层内的求解问题当作一个独立的摄动问题处理，以获得相应的“内解”（之前通过正则摄动获得的则称为“外解”）。最后再将内解与外解通过“匹配”的办法合并，以得到在整个定义域内都适用的近似解。

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