对偶命题

成对偶对应的几何命题

对偶命题是具有特定关系的两个命题，指成对偶对应的几何命题。射影几何中一个命题与把其中的各个几何元素换成对偶元素，把其中的各个运算换成对偶运算而得到的另一个命题间的关系。例如，在射影平面上，设有点、直线及其相互接合关系所构成的一个命题，将此命题中的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，其结果形成另一个命题，这两个命题称为平面上的对偶命题。又如，在三维射影空间中，设有点、直线、平面及其相互接合关系所构成的一个命题，将此命题中的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，其结果形成另一个命题，则这两个命题称为三维空间中的对偶命题。

定义

在射影平面里设有点，直线及其相互结合和顺序关系(此处的顺序关系指共线四点或共点四线的分离关系)所组成的一个命题，将此命题中的各元素改为它的对偶元素，各作图改为它的对偶作图，其结果形成另一个命题，这两个命题叫做平面对偶命题。

对偶原则在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立。

关于对偶原则的严格证明，要从射影任何的公理系统出发，或从坐标方程出发也可说明其真实性。

命题A的平面对偶命题记以。

例1 A：通过不同两点必有一直线。

：两不同直线必有一交点。

例2 A：若两个完全四点形的五对对应边的交点在同一直线上，则其第六对对应边的交点也在此直线上，其四对对应顶点的连线必共点。

：若两个完全四线形的五对对应顶点连线通过同一点，则其第六对对应顶点的连线也通过此点，其四对对应边交点必共线。

利用德萨格定理及逆(对偶)定理容易得到证明。

对偶原理在射影几何中有重要地位，证明一个定理的同时也就证明了它的对偶定理，因此可以事半功倍。

注意：对偶原则是射影几何所特有的，它只适用于几何元素的结合与顺序关系的命题，而不能应用于度量关系。

详细介绍

平面射影几何是研究射影平面上按照点与直线的接合关系能够表达出来的全部命题，在射影平面上，只涉及到点与直线的接合关系的命题称为射影命题。

定义1 属于一个平面的所有点的集合叫做点场，这平面叫做点场的底；属于一个平面的所有直线的集合叫做线场，这平面叫做线场的底。

定义2 平面上属于一直线的所有点的集合叫做点列，记作，直线称点列的底；平面上属于一点的所有直线的集合叫做线束，记作，点称线束的中心。

定义3 不共线的三点与其每两点的连线所构成的图形叫做三点形，每一点叫做顶点，每两点的连线叫做边；不共点的三直线与其每两线的交点所构成的图形叫做三线形，每一直线叫做边，每两直线的交点叫做顶点。

设在射影平面上给了由点和直线按照某种接合关系组成的一个图形，把这图形里的点换成直线，直线换成点，并保留接合关系，我们得到另一个图形，这后一个图形称为前一个图形的对偶图形。点和直线称为射影平面上的对偶元素，显然，图形的对倡关系是对称的，例如点场和线场，点列和线束，三点形和三线形都是互相对偶的图形。

一个图形可以是它自己的对偶图形，这种图形称为自对偶图形。如三点形和三线形都含有不共线的三个点与两两相连的三条直线，它们是同一图形，所以三点形（或三线形）是自对偶图形。

把一个射影命题里的点换成直线，直线换成点，并保留接合关系，我们得到另一个命题，这后一个命题称为前一个命题的对偶命题。显然，命题的对偶关系也是对称的，在对偶命题的叙述中，自对偶图形是不必改变叙述的，一个命题可以是它自己的对偶命题，这种命题称为自对偶命题，例如“一“存在着一点和一直线不相接合”就是一个自对偶命题。

举例

对偶命题可举例如下：

点几何学：

1)射影平面上点的原始坐标是非零三数组，成比例的三数组表示同一点，不成比例的三数组表示不同的点。

2)在点坐标里，直线有方程。

3)不同两点和决定唯一的连线。

4)三点共线的充要条件是，即存在不全为零的三个数使得

线几何学：

1)射影平面上直线的原始坐标是非零三数组，成比例的三数组表示同一直线，不成比例的三数组表示不同的直线。

2)在线坐标里，点有方程。

3)不同两直线和决定唯一的交点。

4)三直线共点的充要条件是即存在不全为零的三个数，使得