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差分约束系统

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如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，形成m个形如ai-aj≤k的不等式(i,j∈[1,n],k为常数),则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。

求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最短路径（或最长路径）问题。
观察xj-xi≤bk，会发现它类似最短路中的三角不等式d[v]≤d[u]+w[u,v]，即d[v]-d[u]≤w[u,v]。因此，以每个变量xi为结点，对于约束条件xj-xi≤bk，连接一条边(i,j)，边权为bk。我们再增加一个源点s，s与所有定点相连，边权均为0。对这个图，以s为源点运行Bellman-Ford算法，最终{d[i]}即为一组可行解。
例如，考虑这样一个问题，寻找一个5维向量x=(xi)以满足：
这一问题等价于找出未知量xi，i=1,2,…,5，满足下列8个差分约束条件：x1-x2≤0
x1-x5≤-1
x2-x5≤1
x3-x1≤5
x4-x1≤4
x4-x3≤-1
x5-x3≤-3
x5-x4≤-3
该问题的一个解为x=(-5,-3,0,-1,-4)，另一个解y=(0,2,5,4,1)，这2个解是有联系的：y中的每个元素比x中相应的元素大5。
引理：设x=(x1,x2,…,xn)是差分约束系统Ax≤b的一个解，d为任意常数。则x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是该系统Ax≤b的一个解。
bellman-ford算法伪代码：
for each v V do d[v] ＜- 无限大; d[s] ＜- 0
Relaxation
for i =1,...,|V|-1 do
for each edge (u,v) 属于 E do
d[v] ＜- min{d[v], d[u]+w(u,v)}
Negative cycle checking
for each v 属于V do if d[v]＞ d[u] + w(u,v) then no solution
在实际的应用中，一般使用Bellman-Ford算法来实现。
差分约束系统中源点到每个点的距离确定。
关于Dist的初始化：
1.如果将源点到各点的距离初始化为0，最终求出的最短路满足 它们之间相互最接近了；
2.如果将源点到各点的距离初始化为INF(无穷大)，其中之1为0，最终求出的最短路满足 它们与该点之间相互差值最大；
3.差分约束系统的确立要根据自己确定的约束条件，从约束点走向被约束点。
连边一般有两种方法，第一种是连边后求最长路的方法，第二种是连边后求最短路的方法。
例：d[x]-d[y]≥Z
如果想连边后求最长路 那么将不等式变形为这种形式 d[x]≥d[y]+z y到x连一条权值为z的边
求最短路则变形成d[y]≤d[x]-z x到y连一条权值为-z的边。
如果是别的不等式，也可以根据情况变形。但是要保证的是 两个变量(x,y)的系数一定要是正的。而常量则不一定。
定理：将如上差分约束系统转换成图后，以为源点得到的最短路径序列为（如果有解），则满足且若为任意解，则有。
证明：首先由，则显然有满足，这是因为每条边对应一个不等式且由图的构造法可知。其次考察到的最短路径，我们有与直接相连且由路径最短知，其中为不等式的常量即为边的权，所以有。对k做归纳，由，又，所以即所以后者成立。证毕
例：设有n个盒子标号为1...n，每个盒子最多放1个球。放法满足（0＜i≤m）约束，其中表示区间最多可放个球，求这n个盒子最多可放多少个球。
令前k个盒子放的数目为，则有，（1 ≤ i ≤ n ），（1 ≤ i ≤ m）。以此约束条件用如上算法给出最短路径序列，由定理知是合法的放法，且为最大值。
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