平面机构的自由度

构件相对于参考系所具有的独立运动数目

一个作平面运动的自由构件具有三个独立运动。如概述图所示，在x0y坐标系中，构件S可随任一点A沿x轴、y轴方向移动和绕A点转动。这种构件相对于参考系所具有的独立运动数目称为构件的自由度。所以一个作平面运动的自由构件有三个自由度。

自由度计算

在平面机构中，两构件通过运动副连接后，使构件独立运动受到了限制，自由度随之减少。对独立运动所加的限制称为约束。不同类型的运动副引入的约束不同，所保留的自由度也不同。每个低副引入约束数为2，高副的约束数为1。例如转动副，约束了两个移动自由度，保留了一个转动自由度；而移动副约束了沿某一轴方向的移动和平面内转动两个自由度，保留了沿另一轴方向移动的自由度；如高副则只约束了沿接触点公法线方向移动的自由度，保留绕接触点转动和沿接触点公切线方向移动两个自由度。

机构能产生独立运动的数目称为机构的自由度。在平面机构中，各构件只作平面运动。所以每个自由构件具有3个自由度。而每个平面低副引入2个约束，每个高副引入1个约束。设平面机构中共有n个活动构件（机架不是活动构件），在各构件尚未构成运动副时，它们共有3n个自由度。而当各构件构成运动副后，设共有PL个低副和PH个高副，则机构将受到2PL+PH个约束，故机构的自由度为：

确定运动的条件

机构的自由度也就是机构所具有的独立运动的个数。由前述可知，从动件是不能独立运动的，只有原动件才能独立运动。通常原动件都与机架相连,具有一个独立运动（转动或移动），是由外界给定的。为了使机构具有确定的运动，机构自由度应大于零，且机构的原动件的数目应等于机构的自由度的数目。这就是机构具有确定运动的条件。当机构不满足这一条件时，如果机构的原动件数小于机构的自由度，机构的运动不能确定。如果原动件数大于机构的自由度，机构不能产生运动，并将导致机构中最薄弱环节的损坏。

注意的事项

在计算平面机构自由度时，应注意下述几种情况。

复合铰链

两个以上的构件同时在一处以转动副相连接就构成复合铰链。如图1（a）所示三个构件组成的复合铰链，从图1（b）可以看出，它实际为两个转动副。依此类推m个构件组成的复合铰链应具有(m-1)个转动副。

局部自由度

在有些机构中，某些构件所能产生的局部运动，并不影响其他构件的运动。我们把这些构件所能产生的这种局部运动的自由度称为局部自由度。如图2（a）所示的滚子椎杆凸轮机构中，为了减少高副元素的磨损，在推杆3与凸轮1之间装了一个滚子2。此时在该机构中n=3，PL=3，PH=1。其自由度为

但是，滚子2绕其自身轴线的转动，并不影响其他构件的运动，因而它只是一种局部自由度。因为如图2（b）所示，如设想将滚子2和推杆3焊在一起，显然并不影响其他构件的运动。但此时该机构却变为n=2，PL=2，PH=1而其自由度为

由此可见，可以认为该机构的实际自由度为1。这就是说，在计算机构的自出度时，应将机构中的局部自由度除去不计。

虚约束

在运动副引入的约束中，有些约束对机构自由度的影响是重复的。这些对机构运动不起限制作用的重复约束称为虚约束或消极约束，在计算机构自由度时应将虚约束除去不计。

平面机构中的虚约束常出现下列场合：

①两个构件组成若干个导路中心线互相平行或重叠的移动副，只能算一个移动副，如图3（a）所示。

②两个构件组成若干轴线互相重合的转动副,只能算一个转动副，如图3（b）所示。

③机构中对运动不起独立作用的对称部分。如图3（c）所示轮系，采用齿轮2和齿轮2’对称布置形式，实际上只要齿轮2就能满足运动要求。齿轮2并不影响机构的运动,故其带来的约束为虚约束。

④如两构件在多处接触而构成平面高副，且各接触点处的公法线彼此重合，只能算一个平面高副，如图3（d）所示。

⑤当机构中有两个构件相连接时，若它们连接点的轨迹在未组成运动副以前就是相互重合的，则此连接形成的运动副就只构成虚约束。

图4（a）是一平行四边形机构，若构件2为主动件且作转动时，构件4也将以D点为圆心转动，而构件3将作平移。它上面各点的轨迹均为圆心在AD线上、半径为AB长的圆周。该机构的自由度

若在机构上再加一个构件4（b），它与构件2和构件4平行而等长，显然，加上构件5后对整个构件的运动并无影响，但此时机构的自由度却为

机构自由度数为零意味着机构不能运动,显然与实际情况不符。这是因为加了一个构件5和两个转动副，即增加3个自由度并引人4个约束，于是减少了机构的1个自由度，但构件3和构件5上的E点在未形成运动副前均作圆周运动，圆周半径均为ER，圆心为R。所以两者轨迹重合，而这多出的一个约束对机构的运动并不起约束作用，因此为虚约束。计算自由度时应将那些从机构运动的角度看来是多余的构件及其带入的运动副去掉。

虚约束对运动虽不起作用，但可以增加构件的刚性和使构件受力均衡，所以实际机械中虚约束随处可见。只有将机构运动简图中的虚约束排除，才能算出真实的机构自由度。

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