平面角

数学名词

平面角由射线——点——射线构成，是从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形。

具体定义

几何之父欧几里得曾定义角为在平面中两条不平行的直线的相对斜度。普罗克鲁斯认为角可能是一种特质、一种可量化的量、或是一种关系。欧德谟认为角是相对一直线的偏差，安提阿的卡布斯认为角是二条相交直线之间的空间。欧几里得认为角是一种关系，不过他对直角、锐角或钝角的定义都是量化的。

平面角是以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

或者从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

1.二面角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说个二面角是多少度的二面角。

2.二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。

表示方法

角通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间。概述图中的角用∠AOB表示。但若在不会产生混淆的情形下，也会直接用顶点的字母表示，例如角∠O。

在数学式中，一般会用希腊字母（α,β,γ,θ,φ, ...）表示角的大小。为避免混淆，符号π一般不用来表示角度。

角的测量

常见测量单位

以角的端点为圆心做圆弧。由于圆弧的半径和弧长成正比，而角是长度的比例，所以圆的大小不会影响角的测量。

其他测量单位

角度的量测可以视为弧长s和半径r的比例，再依选用单位乘以一比例系数。

例如以上的弧度、角度和梯度，其转换系数n分别为、360和400。

以下是一些其他的测量单位，对应不同的n值。

正角和负角

以上角的定义均未考虑数值为负的角。不过在一些应用时，会将角的数值加上正负号，以标明是相对参考物不同方向的旋转。

在二维的笛卡儿坐标系中，角一般是以x轴的正向为基准，若往y轴的正向旋转，则其角为正角，若往y轴的负向旋转，则其角为负角。若二维的笛卡儿坐标系也是x轴朝右，y轴朝上，则逆时针的旋转对应正角，顺时针的旋转对应负角。

一般而言，−θ角和一圈减去θ所得的角等效。例如−45°和360°−45°（=315°）等效，但这只适用在用角表示相对位置，不是旋转概念时。旋转−45°和旋转315°是不同的。

在三维的几何中，顺时针及逆时针没有绝对的定义，因此定义正角及负角时均需列出其参考的基准，一般会以一个通过角的顶点，和角所在平面垂直的向量为基准。

在导航时，导向是以北方为基准，正向表示顺时针，因此导向45°对应东北方。导向没有负值，西北方对应的导向为315°。

量测角的方法

除了量测角本身的大小外．也有其他的方式，可以量测角的大小。

坡度等于一个角的正切值，常用百分比或千分比来表示。当一个角的坡度小于5%时，其坡度近似于角以弧度表示的数值。

在有理几何学中，一个角的大小是以伸展度（spread）来表示，伸展度定义为角对应正弦的平方，而任一角正弦的平方和该角补角正弦的平方相等。因此任一角和其补角在有理几何学中是等同的。

角的种类

三垂线法

求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理（或逆定理）作出二面角的平面角，使得解题受阻．

我们把用三垂线定理（或逆定理）作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为：

在二面角－l－中，过平面内一点A作AO⊥平面，垂足为O，过点O作OB⊥l于B（过A点作AB⊥于B），连结AB（或OB），由三垂线定理（或逆定理）知AB⊥l（或OB⊥l），则∠ABO为二面角。—l—的平面角。

作图过程中，作出了两条垂线AO与OB（或AB），后连结AB两点（或OB两点），这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：

1．善于利用图中已有的“第一垂线”

例1 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M，又知AA1与底面ABC所成的角为60°．

⑴求证：BC⊥平面AA1CC1；

⑵求二面角B一AA1—C的大小．

剖析：注意该题的第⑴问，事实上本题已经暗示了BC就是我们要寻求的“第一垂线”．

略解2 A1A与底面AB成的角为60°，所以∠A1AC=60°，又M是AC中点，所以△AA1C是正三角形，作CN⊥AA1于N，点N为A1A的中点，连结BN，由BC⊥平面AA1CC1，BN⊥AA1，则∠BNC为二面角B一AA1一C的平面角．设AC=BC=a，正△AA1C的边长为a，所以，在Rt△BNC中，tan∠BNC=，即　　.

例2 在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

⑴求四棱锥S—ABCD的体积；

⑵求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。

剖析：由SA⊥面ABCD及∠ABC=90°，不难发现，BC即为“第一垂线”，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱．

略解2 延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱，因为AD∥BC，BC=2AD，所以EA=AB=SA，所以SE⊥SB，因为SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线，又BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，所以CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角，因为，BC=1，BC⊥SB，因为tan∠BSC=，即所求二面角的正切值为．

2．借助第三个平面，作“第一垂线”

例3 正三棱柱ABC—A1B1C1的底边长为a，侧棱长为，若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平面交上底面一边A1C1于点D。

⑴确定点D的位置，并证明你的结论；

⑵求二面角A1—AB1—D的大小。

剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D是A1C1中点．二面角A1—AB1一D的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面A1B1C1过点D且与平面A1AB1垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们称为第三个平面。过D作DF⊥A1B1，由面面垂直的性质知，DF⊥面A1AB1，即DF为我们要作的“第一垂线”。

略解2 在平面A1B1C1内，作CF⊥A1B1于F，连DC，由三垂线定理可证AB1⊥DG，∠DGF就是二面角A1—AB1一D的平面角，在正△A1B1C1中，因为D是A1C1中点，A1B1=a，所以，，在Rt△DFG，可求得∠DCF=45°。

3．利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”

例4 已知：Rt△ABC的斜边BC在平面内，AB、AC分别与平面。成30°和45°角，求平面与△ABC所在平面所成二面角的大小。

剖析：本题中没有相对于二面角的两个平面的第三个平面可以借助，但是，我们注意到AB、AC与平面所成的角均已给出，只要过A作AO⊥于O，就可以同时找到AB、ACAO有着非常特殊的位置，有利于二面角大小的计算。

解：作AO⊥于O，OD⊥BC于D，连OB，AD，OC，由三垂线定理得：AD⊥BC，所以∠ADO是二面角A—BC—O的平面角，令AO=x，在Rt△AOB中，∠ABO=30°，所以AB=2x，在Rt△AOC中，∠ACO=45°。

在Rt△AOD中，，所以∠ADO=60°，所以三角形ABC与面成60°或120°的二面角。

平面角的定位

空间图形的位置关系是立体几何的重要内容，解决立体几何问题的关键在于三定：定性分析→定位作图→定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而宣则是定位、定性的深化，在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，可是，从以往的教学中发现，学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定其位，使问题的解决徒劳无益，本文就是针对这一点，来谈一谈平日教学中体会。

一、重温二面角的平面角的定义

α、β是由ι出发的两个平面，O是ι上任意一点，OC

α，且OC⊥ι；CD β，且OD⊥ι。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，从中不难得到下列特征：

Ⅰ、过棱上任意一点，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取上一点A，作AB⊥OD垂足为B，那么

由特征Ⅱ可知AB⊥β.突出ι、OC、OD、AB，这便是另一特征；

Ⅲ、体现出一完整的垂线定理（或逆定理）的环境背景。

对以上特征进行剖析

由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。

特征Ⅰ表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。

例1 已知正三棱锥V—ABC侧棱长为a，高为b，求侧面与底面所成的角的大小。

由于正三棱锥的顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角。正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使背景突出在面VOC上，给进一步定量创造得天独厚的条件。

特征Ⅱ指出，如果二面角α—ι—β的棱ι垂直某一平面γ与

α、β的交线，而交线所成的角就是α—ι—β的平面角。

由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。

例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，

使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—C的大小。

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征Ⅱ可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，AO=AB·AD/BD=3*4/5=12/5，OA′=OE=BO·tan∠CBD，而BO=AB2/BD=9/5,tan∠CBD，故OA′=27/20。在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°所以cos∠AOA′=A′O/AO=9/16，ty∠AOA′=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。

通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征Ⅱ从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量。

特征Ⅲ显示，如果二面角α—ι—β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作ι的垂线交ι于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥ι；或者由A作ι的垂线交ι于O，连结OB，由三垂线定理逆定理可知OB⊥ι，此时，∠AOB就是二面角α—ι—β的平面角。

由此可见，地面角的平面角的定位可以找“垂线段”。

例3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点。求面B1D1E与面积BB1C1C所成的二面角的大小。

例3的环境背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，

由特征Ⅱ可知，这两个二面角的大小必定互补，下面，如

果思维由特征Ⅲ监控，背景中的线段C1D1会使眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1（或OC1），即得面D1BE与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，计算可得C1O=4*51/2/5。

在Rt△D1C1O中，tan∠C1OD=D1C1/C1O=51/2/2。

故所求的二面角角为arctan51/2/2或π-arctan=51/2/2

三个特征关系

以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色。

分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来。掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。

1、融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的

消极作用，培养思维的广阔性和批判性。

例3 将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的

一个侧面吻合，则吻合后的几何呈现几个面？

这是一道竞赛题，考生答“7个面”的占99.9%，少数应服从多数吗？

过两个几何体的高线VP、VQ的垂足P、Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点，OP延长过A，OQ延长交ED于R。由特征Ⅲ，∠AOR为二面角A—BC—R平面角，结合特征Ⅰ、Ⅱ，可得VAOR为平行四边形，VA//BE，所以V、A、B、E共面，同理V、A、C、D共面，所以这道题的答案应该是5个面！

2、三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多同题中却

表现得含糊而冷漠——三个“标的”均藏而不露，在这种形势下，逼你去作，那么作谁？

由特征Ⅲ，有了“垂线段”便可定位。

例4 已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3，P为斜边上一点，沿CP将此直角三角形折成直二面角A—CP—B，当AB=71/2时，求二面角P—AC—B的大小。

作法一：∵A—CP—B为直角二面角，

∴过B作BD⊥CP交CP的延长线于D，则BD⊥DM APC。

∴过D作DE ⊥AC，垂足为E，连BE。

∴∠DEB为二面角A—CP—B的平面角。

作法二：过P点作PD′⊥PC交BC于D′，则PD′⊥面APC。

∴过D′作D′E′⊥AC，垂足为E′，边PE′，

∴∠D′E′P为二面角P—AC—B的平面角。

再说，定位是为了定理，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，有了“垂线段”就可把它化归为解一个直角三角形。