广义函数

古典函数概念的推广

广义函数，数学概念，是古典函数概念的推广。关于广义函数的研究构成了泛函分析中有着广泛应用的一个重要分支。广义函数被广泛地应用于数学、物理、力学以及分析数学的其他各个分支，例如微分方程、随机过程、流形理论等等，它还被应用到群的表示理论，特别是它有力地促进了偏微分方程近30年来的发展。

来历

古典函数概念的推广。历史上第一个广义函数是由物理学家 P.A.M. 狄拉克引进的，他因为陈述量子力学中某些量的关系时需要引入了“函数”δ(x)：当 x≠0时,δ(x)=0，但x=0时，δ(x)=∞。按20世纪前所形成的数学概念是无法理解这样奇怪的函数的。然而物理学上一切点量，如点质量、点电荷、偶极子、瞬时打击力、瞬时源等物理量用它来描述不仅方便、物理含义清楚,而且当它被当作普通函数参加运算,如对它进行微分和傅里叶变换，将它参与微分方程求解等所得到的数学结论和物理结论是吻合的。这就迫使人们要为这类怪函数确立严格的数学基础。最初理解的方式之一是把这种怪函数设想成直线上某种分布所相应的“密度”函数。所以广义函数又称为分布，广义函数论又叫做分布理论。用分布的观念为这些怪函数建立基础虽然很直观，但对于复杂情况就又显得繁琐而不很明确。后来随着泛函分析的发展，L.施瓦尔茨(1945)用泛函分析观点为广义函数建立了一整套严格的理论,接着盖尔范德对广义函数论又作了重要发展。

争论

关于通常函数的争论

18世纪与19世纪关于函数的定义可列举如下：

正是在以什么样方式给出x与y之间对应是不是重要这一点上,围绕着函数定义再一次的发生了冲突,而这已经是20世纪初了。实际上,根据获里狄利克莱定义字面的意义,为了给出函数，对于每个x都必须给出它的函数值，并且不同x的值彼此之间无任何联系,但是究竟以什么方式能给出函数呢?要知道，自变量x的值是一个无穷集合,因此在这里应当讨论彼此间无联系条件的无穷集合,对于它们的全体又应怎样来描述呢?为了列举无穷集合,给出一个唯一函数的条件, 既不是指位置,也不是指时间(正是在这种情况下出现所谓勒贝格不可测函数)。毫无疑问,由有限几句话组成的“法则”给出的函数是有权存在的,但是不给这种法则的所谓《无法则》的函数是不是没有意义呢?

能够把《无法则》的函数,作为无用函数而从分析中去掉吗?曾有一个专门的审查计划,目的是检查《无法则》函数在分析构造起什么作用,研究的结果表明，《无法则》函数在分析基础中是不能排除掉的,否则将会破坏数学分析原有的和谐格局。数学家们因此分成了两个阵营：不要求一定法则的“狄利克莱”函数定义的支持者和要求由几句话组成定法则的“罗巴切夫斯基”函数定义的支持者。被称为直觉主义的第二阵营的代表拒绝了古典分析中大部分内容，创建了独特的《直觉主义》数学。不希望放弃古典分析成就的第一阵营代表,调和了由于存在《无法则》函数而引起的许多自相矛盾的事实。我们还可以相信，数学的进一步发展是不会沿着直觉主义的道路进行的,同时古典数学的成就总是不可动摇的。但是,直觉主义的具体结果由有限的、不多的、几句话组成的法则所给出的函数,在现代的计算机理论与技术中都得到了意料不到的应用。

引进

广义函数的引进

情况开始严重起来，出现了损害数学家与物理学家相互理解的危险。为了避免这种危险 , 因而建立了具有下列性质的函数定义：

1.古典分析中的通常函数，也是新意义下的函数；

2.函数及物理学中其他《奇异》函数也属于这种新函数；

3.一切新函数都有导数,而这个导数同样也是新意义下的函数；

4.收敛的新函数项级数可以逐项微分，并且由导数组成的级数和总等于原来级数和的导数；

第一阵营的观点在这里未被用上 .在这里苏联数学家C.L.索波列夫的功劳是很大的，他发现了满足所有列出的四项要求的函数族。后来这些函数族被称为《广义函数》。从索波列夫引入广义函数（1934-1936年）已有50多年.在这段时期里,广义函数得到了广泛发展,并且在数学分析与其他数学分支以及物理的许多问题中,已经变成了必备的知识。

广义函数又称为分布，广义函数论又叫做分布理论。用分布的观念为这些怪函数建立基础虽然很直观，但对于复杂情况就又显得繁琐而不很明确。后来随着泛函分析的发展，L.施瓦尔茨(1945)用泛函分析观点为广义函数建立了一整套严格的理论,接着盖尔范德对广义函数论又作了重要发展。

重要影响

J.（S.）阿达马(1932)在研究波动方程基本解时使用了发散积分的有限部分。С.Л.索伯列夫(1936)在研究双曲型方程的柯西问题时用分部积分引入了广义导数和微分方程广义解的概念,并把函数δ及其导数δ□等视为某个函数空间上的线性泛函；他对广义函数论的建立迈出了决定性的一步。S.博赫纳(1932)和T.卡莱曼(1944)讨论了幂增长函数的傅里叶变换，提出了连续函数的形式导数概念。

当然为那些怪函数建立严格数学基础的方法并不是惟一的，例如波兰学者J.米库辛斯基就曾用较初等的方法建立它们的基础。也有把广义函数看作解析函数的边界值，并由此发展出超函数理论。换句话说，广义函数的定义并不完全统一，而是具有一定程度的灵活性，可以根据问题的需要适当地定出相应的广义函数类。

泛函分析观念下的广义函数理论的核心是把广义函数看成某个函数空间上的连续线性泛函，即先选取某些性质很好的函数组成的线性空间，再在其中给出适当的收敛概念，这样的函数空间就称为基本函数空间，又称为测试函数空间，而其中每个函数称为基本函数或测试函数。相应于基个基本空间上的连续线性泛函就称为该基本空间上的广义函数。广义函数全体就称为相应于基本空间的广义函数空间。

三大分类

在广义函数理论中介绍了三个基本空间，D，ε 和S,其相应的广义函数空间为：D'，ε '，S'。它们在广义函数理论中起着十分重要的作用。

1.基本空间，及其广义函数

空间，是定义在n维欧氏空间中的无穷次可微函数全体的集合，称为无穷次可微函数空间。具有紧支集的中的函数的全体所构成之集合记做，它是一个线性空间。

广义函数是基本空间上的线性连续泛函，称上的连续泛函为ε ' ；称上的连续线性泛函为广义函数，它们都是线性空间。

(1)任一局部可积函数都是D'广义函数；

(2)δ函数为D'，ε '广义函数；

(3)任一ε '(Ω)广义函数T，其支集都是紧的。反之，任一D'(Ω)广义函数T，若其支集为紧的，必为ε '(Ω)；

(4)若T为ε ' 广义函数，S为广义函数，则卷积S*D为广义函数；若S为ε ' 广义函数，T为广义函数，则卷积S*D属于；

2.速降函数和缓增广义函数

如果定义在上的函数f满足条件：f∈ε 且对于任意的重指标（这里指非负整数重指标）有与f(x)的偏b次方导数的乘积的上确界有界时，称f为速降函数。

S 上的线性连续泛函全体构成一个广义函数空间，称为缓增广义函数空间，记为S‘’ 。