连续统假设

格奥尔格·康托尔提出的猜想

1874年格奥尔格·康托尔猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。它又被称为希尔伯特第一问题，在1900年第二届国际数学家大会上，大卫·希尔伯特把康托尔的连续统假设列入20世纪有待解决的23个重要数学问题之首。1938年哥德尔证明了连续统假设和世界公认的ZFC公理系统不矛盾。1963年美国数学家保罗·寇恩证明连续假设和ZFC公理系统是彼此独立的。因此，连续统假设不能在ZFC公理系统内证明其正确性与否。

概念

连续统假设（continuum hypothesis），数学上关于连续统势的假设。常记作CH。该假设是说，无穷集合中，除了整数集的基数，实数集的基数是最小的。

问题的提出

通常称实数集即直线上点的集合为连续统，而把连续统的势（大小）记作C1。

2000多年来，人们一直认为任意两个无穷集都一样大。直到1891年，G.康托尔证明：任何一个集合的幂集（即它的一切子集构成的集合）的势都大于这个集合的势，人们才认识到无穷集合也可以比较大小。

自然数集是最小的无穷集合，自然数集的势记作阿列夫零。康托尔证明连续统势等于自然数集的幂集的势。是否存在一个无穷集合，它的势比自然数集的势大，比连续统势小？这个问题被称为连续统问题。

康托尔猜想这个问题的解答是否定的，即连续统势是比自然数集的势大的势中最小的一个无穷势，记作C1；自然数集的势记作C0。这个猜想就称为连续统假设。

问题已有解决

1938年，K.哥德尔证明了CH对ZFC公理系统（见公理集合论)是协调的，1963年，P.J.科恩证明CH对ZFC公理系统是独立的，是不可能判定真假的。这样，在ZFC公理系统中，CH是不可能判定真假的。这是60年代集合论的最大进展之一。然而到了21世纪，前人的结论又开始被动摇了。

康托尔证明连续统的基数等于自然数集幂集的基数，并把它记作2^ℵ0(其中ℵ0读作阿列夫零)。康托尔还把无穷基数按照从小到大的次序排列为ℵ0，ℵ1，…ℵa……其中a为任意序数，康托尔猜想，2^ℵ0=ℵ1。这就是著名的连续统假设（简记CH）。一般来说，对任意序数a，断定2^ℵa=ℵ(a+1)成立，就称为广义连续统假设（简记GCH）。在ZF中，CH和选择公理（简记AC）是互相独立的，但是由GCH可以推出AC。ZF加上可构造性公理(简记V=L)就可以推出GCH，当然也能推出CH和AC。

广义连续统假设

广义连续统假设（Generalized continuum hypothesis，简称GCH）是指：若一个无限集A的基数在另一个无限集S与其幂集之间，则A的基数必定与或其幂集相同。

CH与GCH都独立于ZFC，不过Sierpiński证明了ZF+GCH可以推导出选择公理，换句话说，不存在ZF+GCH但AC不成立的公设系统。

任何的无限集合A和B，假如存在一个由A到B的单射，那就存在一个由A的子集到B的子集的单射。因此对于任何有限的序数A和B，

假如A和B是有限集合，那我们可以得到更强的不等式：

GCH意味着这个严格的不等式对无限序数和有限序数都成立。

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