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抽样定理

通信理论定理

抽样定理是通信理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依据，包括时域抽样定理和频域抽样定理两部分。

简介
 
采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker（1915年发表的统计理论），克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。 
采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。
定理内容
抽样定理：设时间连续信号 ，其最高截止频率为 ，如果用时间间隔为 的开关信号对 进行抽样时，则 就可被样值信号唯一地表示。
在一个频带限制在 内的时间连续信号 ，如果以小于等于 的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。或者说，如果一个连续信号 的频谱中最高频率不超过 ，这种信号必定是个周期性的信号，当抽样频率 时，抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息，而不会有信息丢失，当需要时，可以根据这些抽样信号的样本来还原原来的连续信号。根据这一特性，可以完成信号的模-数转换和数-模转换过程。
意义
抽样定理指出，由样值序列无失真恢复原信号的条件是 ，为了满足抽样定理，要求模拟信号的频谱限制在0~ 之内（fh为模拟信号的最高频率）。为此，在抽样之前，先设置一个前置低通滤波器，将模拟信号的带宽限制在fh以下，如果前置低通滤波器特性不良或者抽样频率过低都会产生折叠噪声。
例如，话音信号的最高频率限制在3400Hz，这时满足抽样定理的最低的抽样频率应为 =6800Hz，为了留有一定的防卫带，CCITT规定话音信号的抽样率 =8000Hz，这样就留出了8000-6800=1200Hz作为滤波器的防卫带。应当指出，抽样频率 不是越高越好，太高时，将会降低信道的利用率（因为随着 升高，数据传输速率也增大，则数字信号的带宽变宽，导致信道利用率降低），所以只要能满足，并有一定频带的防卫带即可。
以上讨论的抽样定理实际上是对低通信号的情况而言的，设模拟信号的频率范围为～，带宽。如果，称之为低通型信号，例如，话音信号就是低通型信号的，若，则称之为带通信号，载波12路群信号（频率范围为60～108kHz）就属于带通型信号。
对于低通型信号来讲，应满足的条件，而对于带通型信号，如果仍然按照这个抽样，虽然能满足样值频谱不产生重叠的要求，但是无疑太高了（因为带通信号的高），将降低信道频宽的利用率，这是不可取的。
分类
时域抽样定理
一个频谱受限的信号 ，如果频谱只占据 ~ 的范围，则信号 可以用等间隔的抽样值惟一地表示。而抽样间隔必须不大于 （其中 ），或者说，最低抽样频率为 。
频域抽样定理
若信号 是时间受限信号，它集中在 ~ 的时间范围内，若在频域中以不大于 的频率间隔对 的频谱 进行抽样，则抽样后的频谱 可以惟一地表示原信号。
提示
抽样定理在实际应用中应注意在抽样前后模拟信号进行滤波，把高于二分之一抽样频率的频率滤掉，这是抽样中必不可少的步骤。
举例
奈奎斯特抽样定理：设有一个频带限制在(0,fh)Hz内的时间连续信号f (t)，如果以不低于2fh次/秒的频率对它进行抽样，那么所得的抽样值将包含f (t)的全部信息，并且可以用低通滤波器从这些样值中重建f (t)。假设f (t)的频谱为F()，我们抽样所用的信号是单位冲击序列：
其中：Ts为抽样时间间隔，那么抽样后的信号fs(t)为：
其信号频谱为：
抽样后信号f (t)的频谱 由无限多个以ωs的各次谐波为中心点所组成，当然幅度只有原来的1/Ts。如图1所示。
显然为了要使相邻的边带不发生混叠，必须满足如下条件ωs≥2ωh，或fs≥2fh
当抽样满足抽样定理要求，频谱不发生混叠时，在接收端只要用理想低通滤波器就可以从抽样信号中无失真地恢复原信号。
设f(t)频带为 ，仍按 抽样，抽样后的信号频谱如图2(b)所示。
由图2(b)可见 频谱图中有很多空隙，那么是否可降低抽样频率呢？经观察可发现带通信号的最高频率fh 如果是其带宽的整数倍的话，例如fh=2B，当抽样频率fs=2(fh－fl )=2B时，其频谱并不发生混叠。如图2(c)所示。
如果最高频率 不是信号带宽B的整数倍，即：
其中K的整数部分为n，小数部分为k，即：
我们可以假想一个比B宽的带宽B′，使正好是它的整数倍。
只要我们以2B'抽样频率 对f (t)进行抽样必然不会出现频谱混叠。因此
①
从式1可见，随着n的增大，趋向于2B，当n比较大时，式①可简化为：
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