数值逼近

数学术语

数学中的逼近理论是如何将一函数用较简单的函数来找到最佳逼近，且所产生的误差可以有量化的表征，以上提及的“最佳”及“较简单”的实际意义都会随着应用而不同。

简介

数学中有一个相关性很高的主题，是用广义傅立叶级数进行函数逼近，也就是用以正交多项式为基础的级数来进行逼近。

计算机科学中有一个问题和逼近理论有关，就是在数学函式库中如何用计算机或计算器可以执行的功能（例如乘法和加法）尽可能的逼近某一数学函数，一般会用多项式或有理函数（二多项式的商）来进行。

逼近理论的目标是尽可能的逼近实际的函数，一般精度会接近电脑浮点运算的精度，一般会用高次的多项式，以及（或者）缩小多项式逼近函数的区间。缩小区间可以针对要逼近的函数，利用许多不同的系数及增益来达到。数学函式库将区间划分为许多的小区间，每个区间搭配一个次数不高的多项式。

最佳多项式

只要选定了多项式的次数及逼近的范围，就可以用以使最坏情形误差最小化的原则，来选择逼近多项式，其目的为最小化的绝对值，其中P(x)为逼近多项式，而f(x)为实际的函数。对于一个良态的函数，存在一个N次的多项式，使误差曲线的大小在和之间震荡至多N+2次，其最坏情形的误差为。一个N次的多项式可以内插曲线中的N+1个点。当然也有可能制造一些极端的函数，使得满足上述条件的多项式不存在，但在实务上很少需要为这様的函数进行逼近。

例如红线就是用N=4情形下用多项式逼近log(x)及exp(x)的误差。误差在和之间震荡。每一个例子中的极端有N+2个，也就是6个。极值出现在区间的端点，也就是最左边及最右边。

切比雪夫近似

切比雪夫近似是利用将函数展开为由切比雪夫多项式组成的各项，依需要的逼近程度决定展开的项次，可以得到很接近多项式的结果。此作法类似进行函数的傅立叶分析，只是用切比雪夫多项式代替分析中用到的三角函数。

若计算一函数切比雪夫展开的系数：

只展开到项为止，可以得到一个逼近f(x)的N次多项式。

对于一个有快速收敛幂级数的函数而言，若展开到一定项次后截止不再展开，截止产生的误差接近截止后的第一项，因此误差可以由截止后的第一项代表。若是用切比雪夫多项式展开，也会有一様的结果。若切比雪夫展开只展开到，后面截止，其误差会接近的整数倍。切比雪夫多项式的特点是在[−1, 1]区间以内．其数值会在+1和−1之间震荡。有N+2个极点。因此f(x)和切比雪夫展开的误差接近一个有N+2个极点的函数，因此为近似最佳的N次多项式。

在上面中，可以看到蓝色线（切比雪夫近似的误差）有时比红色线（最佳多项式的误差）接近x轴，但有时蓝色线反而离x轴较远，因此切比雪夫近似和最佳多项式毕竟还是有差异。不过exp函数是快速收敛的函数，切比雪夫近似的误差会比log函数要好。

切比雪夫近似是数值积分方法Clenshaw–Curtis正交法的基础。

雷米兹算法

雷米兹算法是在1934年由苏俄数学家雷米兹提出的算法。可用来产生在一定区间内逼近函数f(x)的最佳多项式P(x)。雷米兹算法是一种迭代式的算法，最后会收敛到使误差函数N+2个极值的多项式。

雷米兹算法是用以下的事实为基础：可以在有N+2个测试点的情形下，创建一个N次多项式，其误差函数在0附近震荡。

假设N+2个测试点（其中和假设是区间的二个端点），需求解以下的多项式：

等式右侧的正负号交替出现。因此可以得到下式：

既然给定，其各次方的幂次也是已知，而也是已知。上式就变成由N+2的线性方程组成的联立方程．有N+2个变数，分别是及。可以解出上式的多项式P及误差。