有限元素法

将结构用网格划分为计算模型的结构分析数值方法

有限元素法是将结构用网格划分为计算模型的一种结构分析数值方法，这一方法特别适合于电子计算机的应用，能对飞行器结构进行大规模的整体分析，也能对形状复杂的结构如接头等进行细节分析。

发展历史

将结构用网格划分为计算模型的一种结构分析数值方法。经过推广发展，已成为解数学物理方程的一种近似方法。用经典结构力学进行飞行器强度计算时，需采用各种简化和假设，把未知数的数量尽可能地减少。例如，力矩分配法能够迭代计算含有几个未知数的连续梁和构架，曾是一种较好的计算方法。但对于形状、边界条件、载荷条件复杂的结构，经典结构力学无法进行精确的计算分析。电子计算机问世后，从事飞行器结构分析的专家致力于寻求一种利用电子计算机进行结构分析的有效方法。1956年，美国波音飞机公司的M.J.脱纳等人，为了分析后掠机翼研究出有限元素法。这一方法特别适合于电子计算机的应用，能对飞行器结构进行大规模的整体分析，也能对形状复杂的结构如接头等进行细节分析。在飞行器结构分析中，无论是静强度分析、动强度分析、疲劳与断裂或热强度分析，都离不开有限元素法。它已成为一种常规的分析方法。

在有限元素法中,用网格将结构划分为若干小块,这些小块称为有限元素，简称有限元。它们可以是三角形、四边形、四面体、六面体或其他形状，易于为计算机记录和鉴别。然后采用分片的连续函数（通常是多项式函数）来描述各元素内的位移场或应力场，并通过每个元素边界上事先规定的一组节点与周围元素相连接，保证必要的连续条件。以节点的广义位移为未知数的称位移法，未知数为广义应力的称力法。两者兼而有之的是混合法。此外，在元素内假设位移场（或应力场）、而在边界上假设应力场（或位移场）的称杂交法。然后应用变分原理得到代数方程组，不同形式的方程组代表不同的结构分析问题。再运用各种数值解法，即可求得所需的结果。例如，用有限元素法作静力分析，能确定结构的位移和应力；作动力分析则能求出结构的振动频率和模态等。有限元素法广泛应用矩阵代数，既紧凑，又易于在电子计算机上组织计算，实现计算过程标准化，可编制通用的计算程序。

有限元素法已成功地用于“阿波罗”号登月飞船、波音747旅客机等大型复杂的飞行器结构分析。除了线弹性问题外，它在弹塑性、稳定性、大变形、粘弹性、热应力、蠕变、振动、动力响应、断裂、疲劳裂纹扩展、温度场、油箱晃动、噪声响应和颤振分析等方面的应用都有很大的进展。特别是以有限元素法为基础的结构分析系统，使分析工作具有很高的效率和可靠性。有限元素法能为新的飞行器设计提供大部分强度资料，为适航性考核和新机验收提供依据。但对飞行器结构分析中许多复杂的非线性问题、瞬态问题、疲劳和断裂、结构与其他介质相互作用等边缘问题还有待进一步研究解决。

方法简述

下面扼要叙述有限元法的整个过程：

步骤1：结构的离散化。有限元法的第一步，是把结构或连续体分割成许多单元，因而在着手分析时，必须用适当的有限元素把结构模型化，并确定单元的数量、类型、大小和布置。

步骤2：从区域或结构中取出其中一个单元来研究。选择适当的插值模式或位移模式近似地描述单元的位移场。由于在任意给定的荷载作用下，复杂结构的位移解不可能预先准确地知道。因此，通常把差值模式取为多项式形式。从计算的观点看多项式简单，而且满足一定的收敛要求，单元位移函数用多项式来近似后，问题就转化为如何求出节点位移，节点位移确定后，位移场也就确定了。

步骤3：单元刚度矩阵和荷载向量的推导，根据假设的位移模式，利用平衡条件或适当的变分原理就可以推导出单元的刚度矩阵和荷载向量。

步骤4：由集合单元方程得到总的平衡方程组。连续体或结构由许多有限元的单元组合而成。因此，对整个连续体或结构进行有限元分析时，就需进行组合。

有限元素法与有限差分法

有限元素法实际上是基于数学上的变分原理，这两种方法在处理物理问题的求解时，在处理问题的数学方法上有较大的差别。有限差分法和有限元素法在对区域的离散化方法上也有明显差别。有限元素法的节点配置比较任意，计算格式就要复杂得多。但这并不会影响它的实际应用。有限差分法则是孤立地对微分方程及定解条件分别列差分方程，因而各节点精度总体上不够一致。有限元素法要求的计算机内存量比较大。有限差分法的适用范围要比有限元素法广泛得多。有很多物理问题不能用有限元素法求解，但总是可以采用有限差分法。

基本原理

有限元素法也是求解边值问题的一种数值方法。这种方法首先在20世纪40年代提出，在20世纪50年代开始用于飞机设计。后来，该方法得到了发展，并被广泛应用于很多学科领域中，特别是现代数字计算机的迅速发展和性能不断提高，更为有限元素法的应用和发展提供了充分的条件。

有限元素法求解的基本原理是，首先将边值问题转化为相应的变分问题即泛函极值问题，然后用许多子域来代表求解的连续区域。在每个子域中，未知函数用带有未知系数的简单插值函数来表示。这样，整个求解区域的解就用有限数目的未知系数来近似，然后将其归结为一个代数方程组。最后，通过求解方程组得到边值问题的解。因此，边值问题的有限元分析包括下列基本步骤：①求解区域的离散或子域划分；②插值函数的选取；③方程组的建立；④方程组的求解。

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