杠杆

简单机械

初中物理学中把一根在力的作用下可绕固定点转动的硬棒叫做杠杆。杠杆可以是任意形状的硬棒。

定义

杠杆是一种简单机械。

在力的作用下能绕着固定点转动的硬棒就是杠杆。

在生活中根据需要，杠杆可以是任意形状。

跷跷板、剪刀、扳子、撬棒、钓鱼竿等，都是杠杆。

滑轮是一种变形的杠杆，定滑轮的实质是等臂杠杆，动滑轮的实质是阻力臂是动力臂一半的省力杠杆。

杠杆五要素

支点：杠杆绕着转动的点，通常用字母O来表示。

动力：使杠杆转动的力，通常用F1来表示。

阻力：阻碍杠杆转动的力，通常用F2来表示。

动力臂：从支点到动力作用线的距离，通常用L1表示。

阻力臂：从支点到阻力作用线的距离，通常用L2表示。

（注：动力作用线、阻力作用线、动力臂、阻力臂皆用虚线表示。力臂的下角标随着力的下角标而改变。例：动力为F3，则动力臂为L3；阻力为F5，阻力臂为L5。）

历史

在力的作用下绕固定点转动的硬棒叫做杠杆。

阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出了杠杆原理。他首先把杠杆实际应用中的一些经验知识当作“不证自明的公理”，然后从这些公理出发，运用几何学通过严密的逻辑论证，得出了杠杆原理。这些公理是：⑴在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上相等的重量，它们将平衡；⑵在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上不相等的重量，重的一端将下倾；⑶在无重量的杆的两端离支点不相等距离处挂上相等重量，距离远的一端将下倾；⑷一个重物的作用可以用几个均匀分布的重物的作用来代替，只要重心的位置保持不变。相反，几个均匀分布的重物可以用一个悬挂在它们的重心处的重物来代替；相似图形的重心以相似的方式分布……正是从这些公理出发，在“重心”理论的基础上，阿基米德又发现了杠杆原理，即“二重物平衡时，它们离支点的距离与重量成反比”。

阿基米德对杠杆的研究不仅仅停留在理论方面，而且据此原理还进了一系列的发明创造。据说，他曾经借助杠杆和滑轮组，使停放在沙滩上的桅船顺利下水。在保卫叙拉古免受罗马海军袭击的战斗中，阿基米德利用杠杆原理制造了远、近距离的投石器，利用它射出各种飞弹和巨石攻击敌人，曾把罗马人阻于叙拉古城外达3年之久。

这里还要顺便提及的是，关于杠杆的工作原理，在中国历史上也有记载过。战国时代的墨家曾经总结过这方面的规律，在《墨经》中就有关于天平平衡的记载：“衡木：加重于其一旁，必锤——重相若也。”这句话的意思是：天平衡量的一臂加重物时，另一臂则要加砝码，且两者必须等重，天平才能平衡。这句话对杠杆的平衡说得很全面。里面有等臂的，有不等臂的；有改变两端重量使它偏动的，也有改变两臂长度使它偏动的。这样的记载，在世界物理学史上也是非常有价值的。

相关名词

动力，阻力，动力臂，阻力臂和支点

1.动力臂：从支点到动力作用线的垂直距离叫动力臂，通常用L1表示。

2.阻力臂：从支点到阻力作用线的垂直距离叫阻力臂，通常用L2表示。

注：杠杆静止或匀速转动，就说此时杠杆处于平衡状态。

力臂

（1）力臂是从支点到力的作用线的距离，不是从支点到力的作用点的长度。

（2）作用在杠杆上的一个力的作用点不变，力的方向改变时，它的力臂一般要改变。

（3）力臂可能与杠杆重合。

杠杆平衡条件

杠杆的平衡条件：

动力×动力臂=阻力×阻力臂

公式：

F1×L1=F2×L2

变形式：

F1：F2=L2：L1

动力臂是阻力臂的几倍，那么动力就是阻力的几分之一。

性质

杠杆绕着转动的固定点叫做支点

使杠杆转动的力叫做动力，（施力的点叫动力作用点）

阻碍杠杆转动的力叫做阻力，（施力的点叫阻力用力点）

当动力和阻力对杠杆的转动效果相互抵消时，杠杆将处于平衡状态，这种状态叫做杠杆平衡，但是杠杆平衡并不是力的平衡。

注意：在分析杠杆平衡问题时，不能仅仅以力的大小来判断，一定要从基本知识考虑，做到解决问题有根有据，切忌凭主观感觉来解题。

杠杆静止不动或匀速转动都叫做杠杆平衡。通过力的作用点沿力的方向的直线叫做力的作用线

从支点O到动力F1的作用线的垂直距离L1叫做动力臂

从支点O到阻力F2的作用线的垂直距离L2叫做阻力臂

杠杆平衡的条件（文字表达式）：

动力×动力臂=阻力×阻力臂

公式：

F1×L1=F2×L2一根硬棒能成为杠杆，不仅要有力的作用，而且必须能绕某固定点转动，缺少任何一个条件，硬棒就不能成为杠杆，例如酒瓶起子在没有使用时，就不能称为杠杆。

动力和阻力是相对的，不论是动力还是阻力，受力物体都是杠杆，作用于杠杆的物体都是施力物体

力臂的关键性概念：1.垂直距离，千万不能理解为支点到力的作用点的长度。

2.力臂不一定在杠杆上。

力臂三要素：大括号（或用|→←|表示）、字母、垂直符号

平衡条件

（1）在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上相等的重量，它们将平衡；

（2）在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上不相等的重量，重的一端将下倾；

（3）在无重量的杆的两端离支点不相等距离处挂上相等重量，距离远的一端将下倾；

（4）一个重物的作用可以用几个均匀分布的重物的作用来代替，只要重心的位置保持不变。

相反，几个均匀分布的重物可以用一个悬挂在它们的重心处的重物来代替；似图形的重心以相似的方式分布……正是从这些公理出发，在“重心”理论的基础上，阿基米德又发现了杠杆原理，即“二重物平衡时，它们离支点的距离与重量成反比”。

杠杆原理

在使用杠杆时，为了省力，就应该用动力臂比阻力臂长的杠杆；如欲省距离，就应该用动力臂比阻力臂短的杠杆。因此使用杠杆可以省力，也可以省距离。但是，要想省力，就必须多移动距离；要想少移动距离，就必须多费些力。要想又省力而又少移动距离，是不可能实现的。

正是从这些公理出发，在“重心”理论的基础上，阿基米德发现了杠杆原理，即“二重物平衡时，它们离支点的距离与重量成反比”。阿基米德对杠杆的研究不仅仅停留在理论方面，而且据此原理还进行了一系列的发明创造。阿基米德曾讲：“给我一个支点和一根足够长的杠杆，我就可以撬动地球”。讲的就是这个道理。但是找不到那么长和坚固的杠杆，也找不到那个立足点和支点。所以撬动地球只是阿基米德的一个假想。

杠杆的支点不一定要在中间，满足下列三个点的系统，基本上就是杠杆：支点、施力点、受力点。其中公式这样写：支点到受力点距离（力矩）*受力=支点到施力点距离（力臂）*施力，这样就是一个杠杆。杠杆也有省力杠杆跟费力的杠杆，两者皆有但是功能表现不同。例如有一种用脚踩的打气机，或是用手压的榨汁机，就是省力杠杆（力臂>力矩）；但是我们要压下较大的距离，受力端只有较小的动作。另外有一种费力的杠杆。例如路边的吊车，钓东西的钩子在整个杆的尖端，尾端是支点、中间是油压机 (力矩>力臂)，这就是费力的杠杆，但费力换来的就是中间的施力点只要动小距离，尖端的挂勾就会移动相当大的距离。两种杠杆都有用处，只是要用的地方要去评估是要省力或是省下动作范围。另外有种东西叫做轮轴，也可以当作是一种杠杆的应用，不过表现尚可能有时要加上转动的计算。

使用杠杆时，如果杠杆静止不动或绕支点匀速转动，那么杠杆就处于平衡状态。

动力臂×动力=阻力臂×阻力，即L1×F1=L2×F2，由此可以演变为F1/F2=L2/L1杠杆的平衡不仅与动力和阻力有关，还与力的作用点及力的作用方向有关。

假如动力臂为阻力臂的n倍，则动力大小为阻力的1/n

动力臂越长越省力，阻力臂越长越费力。

省力杠杆费距离；费力杠杆省距离。

等臂杠杆既不省力，也不费力。可以用它来称量。例如：天平

许多情况下，杠杆是倾斜静止的，这是因为杠杆受到几个平衡力的作用。

详解

杠杆是可以绕着支点旋转的硬棒。当外力作用于杠杆内部任意位置时，杠杆的响应是其操作机制；假若外力的作用点是支点，则杠杆不会出现任何响应。

假设杠杆不会耗散或储存能量，则杠杆的输入功率必等于输出功率。当杠杆绕着支点呈匀角速度旋转运动时，离支点越远，则移动速度越快，离支点越近，则移动速度越慢，由于功率等于作用力乘以速度，离支点越远，则作用力越小，离支点越近，则作用力越大。

机械利益是阻力与动力之间的比率，或输出力与输入力之间的比率。假设动力臂、阻力臂分别为动力点、阻力点与支点之间的距离，动力、阻力分别作用于动力点、阻力点。则机械利益为：

分类及应用

一类

支点在动力点和阻力点的中间。称为第一类杠杆。既可能省力的，也可能费力的，主要由支点的位置决定，或者说由臂的长度决定。动力臂与阻力臂长度一致，所以这类杠杆是等臂杠杆。例：跷跷板、天平等。

二类

阻力点在动力点和支点中间。称为第二类杠杆。由于动力臂总是大于阻力臂，所以它是省力杠杆。例：坚果夹子，门，钉书机，跳水板，扳手，开（啤酒）瓶器，（运水泥、砖的）手推车。

三类

动力点在支点和阻力点之间。称为第三类杠杆。特点是动力臂比阻力臂短，所以这类杠杆是费力杠杆，然而能够节省距离。例：镊子，手臂，鱼竿，皮划艇的桨，下颚，锹、扫帚、球棍，理发剪刀等以一手为支点，一手为动力的器械。

变形杠杆

另外，像轮轴这类的工具也属于一种变形杠杆。就拿最简单、相似于第一类杠杆的定滑轮来介绍，滑轮轴心好比支点，两端物体的拉力好比杠杆的两端施力，而如果滑轮是一个完美的圆，施力臂和阻力臂皆将是圆的半径。

根据杠杆模型可知，若L1>L2，则F1F2，这时杠杆要费力；若L1=L2，则F1=F2，杠杆既不省力也不费力

根据动力臂与阻力臂的不同，我们可以把杠杆分为三类：省力杠杆、费力杠杆和等臂杠杆。

复式

复式杠杆（compound lever）是一组耦合在一起的杠杆，前一个杠杆的阻力会紧接地成为后一个杠杆的动力。几乎所有的磅秤都会应用到某种复式杠杆机制。其它常见例子包括指甲剪、钢琴键盘。1743年，英国伯明翰发明家约翰·外艾特在设计计重秤时，贡献出复式杠杆的点子。他设计的计重秤一共使用了四个杠杆来传输负载。“复式杠杆”并不是一种机械结构，其所对应的机械结构应是凸轮和连杆的组合机构，而连杆的驱动方式应用了杠杆原理，即通过增加力臂来增大力矩的方法。

生活中

杠杆是一种简单机械；一根硬棒（最好不会弯又非常轻），就能当作一根杠杆了。上图中，方形代表重物、圆形代表支持点、箭头代表用，这样，你看出来了吧？在杠杆右边向下杠杆是等臂杠杆；第二种是重点在中间，动力臂大于阻力臂，是省力杠杆；第三种是力点在中间，动力臂小于阻力臂，是费力杠杆。

费力杠杆例如：理发剪刀、镊子、钓鱼竿……杠杆可能省力可能费力，也可能既不省力也不费力。这要看力点和支点的距离：力点离支点愈远则愈省力，愈近就愈费力；还要看重点（阻力点）和支点的距离：重点离支点越近则越省力，越远就越费力；如果重点、力点距离支点一样远，如定滑轮和天平，就不省力也不费力，只是改变了用力的方向。

省力杠杆例如：开瓶器、榨汁器、胡桃钳……这种杠力点一定比重点距离支点近，所以永远是省力的。

如果我们分别用花剪（刀刃比较短）和洋裁剪刀（刀刃比较长）剪纸板时，花剪较省力但是费时；而洋裁剪则费力但是省时。

既省力又省距离的杠杆是没有的。而且只能省力，不能省功。

应用

1.剪较硬物体

要用较大的力才能剪开硬的物体，这说明阻力较大。用动力臂较长、阻力臂较短的剪刀。

2.剪纸或布

用较小的力就能剪开纸或布之类较软的物体，这说明阻力较小，同时为了加快剪切速度，刀口要比较长。用动力臂较短、阻力臂较长的剪刀。

3.剪树枝

修剪树枝时，一方面树枝较硬，这就要求剪刀的动力臂要长、阻力臂要短；另一方面，为了加快修剪速度，剪切整齐，要求剪刀刀口要长。用动力臂较长、阻力臂较短，同时刀口较长的剪刀。

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