椭圆曲面

数学名词

椭圆曲面就是以椭圆曲线 (亏格的Riemann面) 为一般纤维，具有这种纤维结构的复曲面 (2维紧复流形)。

简介

椭圆曲面就是以椭圆曲线 (亏格的Riemann面) 为一般纤维，具有这种纤维结构的复曲面 (2维紧复流形)。

这一概念正如后面所述对于向高维发展以及对纤维微分拓扑都作出了重要的贡献。而且小平先生已经指出了这一发展方向。正如椭圆函数论是19世纪整个数学的源泉，说椭圆曲面为本世纪后半叶整个代数几何的源泉 (之一) 也不过分。由此产生的源流通过 “弦模型理论” 等等而在理论物理学中保持着。

椭圆曲面是小平(在数学的论述部分遵循惯例，直呼其名而不加敬称) 在关于复曲面的一系列基础研究的论文集 “On compact analytic surfaces”中收录的第23部分中处理的。该论文的出版是1963年。

具体定义

一个复曲面S称为椭圆曲面，如果存在闭Riemann面 C 与复解析的正则映射π：s — c 为满射。并且除有限个以外，π的纤维是非奇异椭圆曲线 (亏格1 的Riemann面).这样的 (π,C) 叫做椭圆的纤维结构。

换言之，存在以C(有限个点)为参数的椭圆曲线族，使S为其全体空间(的紧化)

在C的某点P处，选择该点周围的局部参数t使P对应于t=0则π可看作π-1(0)周围的正则函数，所以π=0决定上的因子。也就是说不仅是作为集合的π-1(0)，还有各既约成分上π几重时为0，即同时考虑其重数。我们就把它称为P上的纤维，一般的在P上由定义知，纤维为(重数1的)非奇异椭圆曲线。

小平在椭圆曲面论方面最早的定理就是将这纤维完全分类。

定理

定理1：如果允许，则存在。

再有因为D的基本群是无限阶循环群，其生成元是沿原点逆时针旋转一周的轨道，所以其象的矩M(P)∈SL(2、Z)决定，这称为奇异纤维的单值其共轭类唯一确定。

定理2：非多重的纤维由两个不变量 J (P )，M(P)(后者是其共轭类) 唯一确定。

根据这些，椭圆曲面的结构及其刻划几乎完全给定。

小平曲面论中椭圆曲面的作用

小平之所以首先像这样详细研究椭圆曲面是因为在所谓的小平维数l的场台，作为小平纤维化，自然就出现椭圆曲面。再有，代数维数l的曲面自然也为椭圆曲面。无限阶的椭圆曲面也不外乎如此。但是椭圆曲面发挥强大威力的则在于对所谓型曲面的研究与K3曲面、En—riques曲面的研究等。此外椭圆曲面在曲面研究中也到处可见并起着重要的作用。与后面所说有重要关系的是与K3曲面有相同同伦型的所谓“同伦K3曲面”的研究。小平证明了这是具有两个多重纤维的射影直线上的椭圆曲面(mro)但是关于这是否与K3曲面同胚，或者说微分结构是否相同，作为未解决问题得靠以后的研究者了。

椭圆曲面整体性质研究的进展

椭圆曲面本身在小平之后也有了各种各样的进展。

最重要的事是1980年代前半期4维拓扑学及微分拓扑学的飞跃进步。特别是有关前者的Friedman的结果与有关后者的Donaldson理论(Donaldson不变量的引入)是决定性的。

前者的结果，单连通复曲面按其2维同调的相交形式几乎完全决定了拓扑结构。特别是同伦K3曲面与K3曲面同胚。关于与射影平面的9点blow—up有相同同伦型的曲面，饭高与Dolgachev进行了研究，得到具有2条多重纤维的椭圆曲面，它也与原来的blow—up同胚。

对此微分结构方面则根据利用规范理论所定义的Donaldson不变量的汁算，首先知道饭高、Dolgachev曲面的微分结构可能不同(Donaldson1985)。后来证明同伦K3曲面与K3曲面也不是微分同胚的(MorgaslMrowk~1993)。

这里出现的椭圆曲面上的微分结构有非常深刻的内容，对此，

(1)基曲线的亏格在1以上；

(2)没有多重纤维；

(3)多重纤维3条以上，在这三个条件任一条件满足的情形。由

(A)Euler数相等；

(B)基本群同构这种单纯的拓扑不变量的条件就可以完全决定。

微分结构(1986之前有松本幸夫等的先行研究)。其它众多的应该论及的结果有盐田彻治的Mordell—wen格子理论，金铜诚之的K3曲面的自同构的研究，中山舁在3维流形上椭圆曲线的纤维结构的研究等等。