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正棱锥

数学术语

正棱锥是指底面是正多边形，且从顶点到底面的垂线足是这个正多边形的中心的棱锥，其中，当底面为三角形时，该三角形为等边三角形，只有等边三角形才有中心,等边三角形的重心、外心、垂心、内心重合,称为中心。正棱锥(正多棱锥)的底面是正多边形，侧面全是等腰三角形。

性质
正棱锥除具有棱锥的性质以外，还具有以下性质：
(1)正棱锥的各条侧棱相等；
(2)正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；
(3)正棱锥的对角面都是等腰三角形；
(4)正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影所组成的三角形，都是全等的直角三角形；
(5)正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影所组成的三角形，都是全等的直角三角形
(6)正棱锥的斜高都相等；
(7)正棱锥的侧面和底面所成的二面角都相等；
(8)正棱锥的侧棱和底面的交角都相等。正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半。
展开图
正棱锥的侧面展开图是由公共顶点的若干个等腰三角形三角形所组成的平面图形。等腰三角形的腰是正棱锥的侧棱长。它的底就是正棱锥的底面边长。
图二是正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正六棱锥的展开图。此外尚有多种展开方法。正四面体是正三棱锥的特例。如图二所示，正棱锥(正多棱锥)的底面是正多边形，侧面全是等腰三角形。
随着棱锥的高度以及底面正多边形大小的不同，其侧面的等腰三角形的形状也各有差异。例如，正三棱锥的3个侧面构成了3个全等的等腰三角形，正四棱锥的4个侧面构成4个全等的等腰三角形。
另外，正五棱锥、正六棱锥……，也各自构成5个、6个……全等的等腰三角形。
如图二所示，实线部分为切割线，若从虚线处折叠，即可制成正棱锥。
从正棱锥的顶点向底面引垂线，该垂线定会通过底面正多边形的中心。
画法
正棱锥的直观图由底面和顶点所决定。正棱锥底面的画法与直棱柱底面的画法相同。顶点和底面中心的距离等于它的高。下面以正五棱锥为例，说明正棱锥的直观图的画法。画一个底面边长为5 cm，高为11.5 cm的正五棱锥的直观图。画法：
（1）画轴。画x′轴、y′轴、z′轴，记坐标原点为O′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°。
（2）画底面。按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE，按比例尺取边长等于5÷5=1（cm），并使正五边形的中心对应于点O′。
（3）画高线。在z′轴取O′S=11.5÷5=2.3（cm）。
（4）成图。连结SA、SB、SC、SD、SE，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到所画的正五棱锥的直观图。
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