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波莱尔域

数学术语

在数学中，一个波莱尔域是指在一个指定的拓扑空间中，可由其开集（或者等价地，可由其闭集）的可数次并运算、可数次交运算和（或）差运算得到的一个集合。波莱尔域是由Émile Borel的名字命名的。

数学定义
设 是 的子集的一个非空类，当且仅当满足
时， 称为域。
当且仅当满足
时， 称为单调类。
当且仅当满足
时， 称为波莱尔域。
数学性质
1 一个域为波莱尔域的充分必要条件是它也是一个单调类
的所有子集的类 是一波莱尔域，称为全波莱尔域，两个集 的类是一波莱尔域，称为平凡波莱尔域，设 是任一个指标集，且对每个 是一波莱尔域（或者单调类），则所有这些波莱尔域的交，即属于所有的 的集所成的类，也是一个波莱尔域。对于任给的非空集类 ，存在一个包含它的一个最小的波莱尔域，它正好就是包含 的所有波莱尔域的交，易知，这种波莱尔域至少存在一个，即上面提到的 。这个最小的波莱尔域也称为是由 产生的。特别是，如果 是一个域，则存在包含 的一个最小的波莱尔域。
2 设 是一个域， 是包含 的最小单调类， 是包含 的最小波莱尔域，则 .
生成
当X是一个度量空间时，博雷尔代数可以用如下生成的方法描述。
对于X的一族子集T（即X的幂集P(X)的任何子集），令
1 Tσ为T中元素的可数并的全体
2 Tδ为T中元素的可数交的全体
3 Tδσ=(Tδ)σ.
利用超限归纳法定义如下的序列，其中m是一个序数：
1 对于初始的情况，定义
的所有开子集全体。
2 如果i不是极限序数，那么i是i-1的后继序数。令
3 如果i是极限序数，令
我们可以说博雷尔代数是 ，其中ω1是第一不可数序数，即势为 ℵ1的序数集。这意味着博雷尔代数可以通过开集全体的迭代运算
至第一不可数序而生成。
为了证明这一点，首先注意到度量空间中的任何开集都是一列递增紧集的并。特别地，易知对于任何极限序数m，集合的差运算将映射到自身；而且，当m是不可数的极限序数时，在可数并运算下是封闭的。
注意到对于每一个博雷尔集B，存在一个可数序数αB使得B可以通过αB多次迭代后得到。但是随着B取遍所有博雷尔集，αB也会相应地取遍所有可数序数，故而要得到所有博雷尔集所需的最靠前的序数是ω1，即第一不可数序数。
非波莱尔域
下面描述了卢津给出的一个实数集上的子集不是波莱尔域的例子。与之形成对比的是，不可测集的例子是无法给出的，不过其存在性是可以证明的。
每一个无理数都有一个唯一的连分数表示
其中是一个整数，其余的都是正整数。令A为对应序列的无理数组成的集合，而且其中的元素满足下列性质：存在一个无限子序列使得序列中每一个元素都是下一个元素的因子。这个集合A不是波莱尔域。
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