德萨格定理

几何学术语

德萨格定理(Desargues theorem)，是射影几何的重要定理之一。以法国几何学家德萨格(Gérard Desargues,1591~1661)命名。定理指出：若两三角形的对应顶点连线共点(此点称为透视中心)，则其对应边之交点必共线(此线称为透视轴)。此定理的逆定理亦成立。满足德萨格定理的两个三角形称为透视的。

简介

德萨格定理(Desargues theorem)是射影几何的重要定理之一。若两三角形的对应顶点连线共点(此点称为透视中心)，则其对应边之交点必共线(此线称为透视轴)。此定理的逆定理亦成立。满足德萨格定理的两个三角形称为透视的。

这种交叉定理在通常的欧几里德平面中是正确的，但在特殊情况下需要特别注意，因为当一对边平行时，它们的“交点”返回到无限远。通常，为了消除这些例外情况，数学家们通过在“庞加莱”之后加入“无限”点，“完成”欧几里得平面，这产生了投影平面。

德萨格定理对于真正的投影平面是正确的，对于从场或分区环算出的任何投影空间，对于任何不等于二的尺度的投影空间，以及Pappus定理所拥有的任何投影空间。然而，有一些非德萨格平面，德萨格定理是不成立的。

历史

德萨格从未发表过这个定理，但是它出现在题为“使用视角的M. Desargues的通用方法”（附录）中的一个附录，该书是他的朋友和学生亚伯拉罕博斯（1602年-1676年）发表的关于1648年出版的观点的实用书籍。

投影与仿射空间

在像欧几里德平面这样的仿射空间中，类似的声明是真实的，但只有当列出了涉及平行线的各种例外情况。因此，德萨格的定理是最基本的简单和直观的几何定理，其自然出发点是投射而不是仿射空间。

自对偶

根据定义，当且仅当它们处于中心透视（或等效地根据该定理，轴向透视）时，两个三角形是透视的。请注意，透视三角形不需要相似。

在平面投影几何（其中点对应于线和共线性对应于线的并行性）的标准二元性下，德萨格定理的陈述是自相矛盾的：轴向视角被转换为中心透视性，反之亦然。

德萨格定理的证明

德萨格定理适用于任何场或分区环上的任何维度的投影空间，并且还适用于尺寸至少为3的抽象投影空间。在维度2中，它所保持的平面称为德萨格平面，与可以通过划分环给定坐标。还有许多非德萨格平面，其中德萨格的定理不成立。

三维证明

任何投射空间至少为3的德萨格定理都是真实的，对于任何可以嵌入在至少为3的维度空间中的任何投影空间，更为一般。

德萨格的定理可以说如下：

如果线Aa，Bb和Cc是并发的（在某点相交），那么

点AB∩ab，AC∩ac和BC∩bc是共线的。

由于假设Aa和Bb的并发性，点A，B，a和b是共面的（位于同一平面）。因此，线AB和ab属于同一平面，必须相交。此外，如果两个三角形位于不同的平面上，则点AB∩ab属于两个平面。通过对称参数，AC∩ac和BC∩bc点也存在并属于两个三角形的平面。由于这两个平面在多于一个点相交，它们的交点是包含所有三个点的线。

如果两个三角形不包含在同一平面内，这就证明了德萨格定理。如果它们在同一个平面上，则可以通过选择不在平面上的点来证明德萨格的定理，使用它将三角形从平面中提升出来，使上述参数起作用，然后再投射回平面。如果投影空间的尺寸小于3，则证明的最后一步将失败，因为在这种情况下可能无法在平面外部找到一个点。

蒙格定理也断言三点在一条线上，并有一个证明，使用相同的想法考虑它在三个而不是两个维度，并将线作为两个平面的交点。

二维证明

由于德萨格定理不是非德萨格投影平面，为了证明它，需要满足一些额外的条件。这些条件通常采取假设存在一定类型的足够多的共线的形式，这反过来又表明底层的代数坐标系必须是分割环（歪斜域）。

与帕普定理的关系

Pappus的六边形定理表明，如果以顶点a，b和c位于一条线上的方式绘制六边形AbCaBc，并且顶点A，B和C位于第二条线上，则六边形的每两个相对边位于两条线在一点相遇，以这种方式构造的三个点是共线的。 Pappus定理普遍成立的一个平面叫做Pappian平面，德萨格定理可以从Pappus定理的三个应用推导出来。

逆定理是不正确的，也就是说，并不是所有的德萨格平面都是Pappian平面。普拉斯定理满足相当于使底层坐标系可交换。因此，在非交换分割环（不是字段的分割环）上定义的平面将是德萨格，而不是Pappian。然而，由于Wedderburn的小定理，其中指出所有有限分割环都是场，所有有限的德萨格平面是Pappian。尽管Bamberg&Penttila（2015）给出了仅使用“基本”代数事实的证据，而不是Wedderburn的小定理的完整实力，但并不完全是几何证明这一事实。

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