菲涅耳公式

菲涅耳方程

菲涅耳公式（或菲涅耳方程），由奥古斯丁·让·菲涅耳导出。用来描述光在不同折射率的介质之间的行为。由公式推导出的光的反射称之为“菲涅尔反射”。

历史背景

菲涅耳公式的形成

光波通过不同介质的分界面时会发生反射和折射，入射光分为反射光和折射光两部分。这两束光的进行方向之间的关系虽可由反射和折射定律决定，但二光束的振幅和振动取向却不能决定。菲涅耳以光是横波的设想为基础，把入射光分为振动平面平行于入射面的线偏振光和垂直于入射面的线偏振光，并导出了光的折射比、反射比之间关系的菲涅耳公式。由菲涅耳公式可以求出一定入射角下反射和透射的振幅、强度等。可以很好地解释光的反射与折射的起偏问题及半波损失问题等。菲涅耳公式作为光学和电磁理论的一个重要基本公式。而且在薄膜及电磁现象中应用非常广泛。

公式定义

当光通过不同的介质界面时，入射光分为反射光和折射光两部分，折射定律和反射定律决定了他们的方向，

而这两部分光的强度和振动的取向，都需要用电磁理论中的“菲涅耳公式”来解释，把这种理论称为“菲涅耳公式”。

公式推导

菲涅耳公式是由电磁场边值关系出发的理论推演得出的，其间先后引用了若干条件，因此菲涅耳公式也有其成立条件。

满足电磁场边值关系

电磁场的运动变化规律由麦克斯韦方程组所反映，将麦克斯韦积分方程应用于两介质界面处就得到了电磁场边值关系，在宏观电磁理论看来，经过界面，介质的电磁性能参数有了突变，从而使得电磁场一般地也发生突变．电磁场边值关系反映了这种场突变的规律．电磁场边位关系有四条如图：

下标n，t分别代表法向和切向的分量，D，B分别是电位移和磁感应强度。

由于在界面（z=0）上波函数中的指数因子都一样可略去不写。上面的边值关系可写成如下分量形式，结合右图：

Fresnel公式推导中光的局域坐标系正方向是随便取定的，不同书有不同书的取法。尤其是入射光和出射光的正方向如果不同，体现在公式上会有正负号的差别。所以在用公式时要注意书中的规定。一般来说只要求正号是平行，负号是反平行。

Fresnel equations中的坐标系取的便是方向规定为的坐标系。

公式关系

反射、折射瞬间的电矢量与入射电矢量之间的关系。

反射光

折射光

注意事项

应当注意各分量量值之比是相对于入射波来计算的,但振动方向则分别按照各波的上述规定,不是直接相对于入射波作比较(s分量还可比较,p分量则无法简单地用正负号来直接表示出各波之间的振动方向关系)．

对通常的入射光波来说，As1和Ap1两分量的振动方向都可认为是正的,量值可认为彼此相等．这是因为对于通常的热光源所发的光,在垂直于传播方向的平面(波面)内电矢量(以及磁矢量)可以在任何方向振动,这些振动中的每一个矢量都在毫无规则地非常迅速地改变着．我们观察到的仅是它们的平均位值．因而我们可以运用标量近似处理来代替矢量波．在随意选定了任何两个互相垂直的方向(例如s和p两个方向)之后,就可以把任一振动的振幅A沿所取的方向分成和两个分量．在平均效应中没有任何特殊理由必须认为那一个是正,那一个是负,因而通常就认为它们都是正的。

得出结论

既然入射光诸振动分量都看作是正的，所以菲涅耳公式中的符号,可以认为只是对反射和折射光而言的，反射光和折射光都是在入射点突然改变传播方向的，因此,一般地说,电矢量也将在这里突然改变方向。

实验分析

实验过程

现在用菲涅耳公式来解释半波损失问题。在洛埃镜实验中，光从空气入射到玻璃，即。按折射定律，知道。由于，令入射光中的均取正值，所以。

从图中可以看到,在i1=90°的掠射情况下,入射光和反射光的传播方向几乎相同,它们的波面I和II几乎相互平行．此时,对Ap1′和Ap1规定的正方向也几乎相同,由于在无限靠近界面处反射光中电矢量的两个分量都取负值,而且满足,它们的合矢量几乎与这里入射光中的合矢量方向相反．在波的航进路程上,通常是每隔半个波长,振动矢量的方向相反．现在则是在同一地点(界面上的入射点)，而不是相隔半个波长处,仅是由于反射过程，振动方向就变成相反了．所以称为半波损失(这是对电矢量说的,根据E、H和传播方向三者之间所构成的右螺旋关系可知,磁矢量在这情况中,也同样产生半波损失)。

在维纳驻波实验中,i1几乎等于零．仍设n1i2,得As1′0．但按照各自规定的正方向,反射光中的As1′和Ap1′都分别与入射光中的As1和Ap1反向，而且满足,这就是说合矢量反向．这也是在同一地点(入射点)而不是相隔半个波处,仅仅是由于反射过程使振动方向变成相反．所以在这情况中(i1≈0)也发生了半波损失．这也是对电矢量说的．由于这里反射光和入射光的传播方向是相反的,所以磁矢量的方向不变,不产生半波损失．因此,介质表面对驻波中的电矢量来说是波节,但对磁矢量来说仍应该是波腹．维纳实验所用感光乳胶在介质表面上不感光表示对感光作用说,电矢量是主要的．此处磁矢量虽是波腹，但乳胶并不感光,说明磁矢量对感光不起作用．这一结果是容易解释的，因为电磁波的磁矢量作用在电子上的洛仑兹力qvB比电矢量的作用力qE小得多,其比值为v2/c2,式中v和c分别为电子的速度和光速,一般可以略去不计。

实验总结

总结洛埃镜实验和维纳实验,可得这样的结论:入射光在光疏介质(n1小)中前进,遇到光密介质(n2大)的界面时,在掠射(i1≈90°)或正射(i1≈0)两种情况下,反射光的振动方向对于入射光的振动方向都几乎相反,都将在反射过程中产生半波损失,这是仅对电矢量而言的．在光的效应中，一般仅考虑电矢量的作用．正是这个原因，我们常把电场矢量称为光矢量,电场称为光场．入射光在光密介质中前进，遇到光疏介质的界面而反射时(n1>n2)，不产生半波损失。

由上可知，不论在掠射或正射时,相对于入射光的振动方向,折射光的振动方向永远不发生半波损失。

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