超越数

数学概念

超越数，数学概念，指不是代数数的数。超越数的存在是由法国数学家刘维尔（Joseph Liouville，1809 ~ 1882）在1844年最早证明的。关于超越数的存在，刘维尔写出了下面这样一个无限小数：a=0.110001000000000000000001000…（a＝1/10^(1!)＋1/10^(2!)＋1/10^(3!)＋…），并且证明取这个a不可能满足任何整系数多项式方程，由此证明了它不是一个代数数，而是一个超越数。后来人们为了纪念他首次证明了超越数，所以把数a称为刘维尔数。

定义

超越数是不能作为有理系数多项式方程的根的数，即不是代数数的数。因为欧拉说过：“它们超越代数方法所及的范围之外。（1748年）”而得名。

1844年，法国数学家刘维尔（J.liouville，1809 ~ 1882）首先证明了超越数的存在性。厄米特与林德曼先后证明了 e 与 π 为超越数。

难题

超越数是不能作为有理系数多项式方程的根的数，定义恰与代数数相反。两个著名的例子：圆周率 π＝3.1415926535…、自然对数的底 e＝2.718281828…。可以证明，超越数有无穷多个。在实数中，除了代数数外，其余的都是超越数，但是超越数不一定是实数，比如著名的欧拉公式中的即是一个虚超越数。实数可以作如下分类：实数分为实代数数、实超越数。所有超越数构成的集是一个不可数集。这暗示超越数为无穷数集。可是，现今发现的超越数极少，因为要证明一个数是超越数是十分困难的。

证明

刘维尔数证明后，许多数学家都致力于对超越数的研究。1873年，法国数学家埃尔米特（Charles Hermite，1822 ~ 1901）又证明了自然对数底e的超越性，从而使人们对超越数的认识更为清楚。1882年，德国数学家林德曼证明了圆周率也是一个超越数（完全否定了“化圆为方”作图的可能性）。

在研究超越数的过程中，大卫·希尔伯特曾提出猜想：a是不等于0和1的代数数，b是无理代数数，则a^b是超越数（希尔伯特问题中的第七题）。

这个猜想已被证明，于是可以断定e、π是超越数。

常见形式

实数中除代数数以外的数，亦即不满足任一个整系数多项式方程（n 为正整数，≠0）的数。理论上证明超越数的存在并不难，而且可知超越数是大量的。但要构造一个超越数或论证某个数是超越数就极为困难。现今只有少量的数（如 π、e）等的超越性得到了证明，对其他一些有兴趣的数的超越性的研究是数学家十分关注的事。

数例

π，在我国叫又环率、圆率、圆周率等。

最先得出π≈3.14的是希腊的阿基米德（约公元前240年），最先给出π小数后面四位准确值的是希腊人托勒密（约公元前150年），最早算出π小数后七位准确值的是我国的祖冲之（约480年），1610年荷兰籍德数学家鲁道夫应用内接和外切正多边形计算π值，通过262边形计算π到35位小数，花费了毕生精力，1630年格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算π值到39位小数，这是利用古典方法计算π值的最重要尝试。

以上都是古典方法计算π值。

达什首先计算出π的准确的200位数字。

值得提出的是，达什1824年生于汉堡，只活了短短的37年，便离开了人世，他是一个闪电般的计算者，是一位最了不起的人工计算者，他曾在54秒钟内便完成了两个8位数的乘法，在6分钟内完成了两个20位数的乘法，在40分钟内完成了两个40位数的乘法；他曾在52分钟内算出一个100位数的平方根。达什的这种非凡的计算才能在他制作7位对数表和从7000000到10000000之间的数的因子表便得到了最有价值的充分的运用。

1706年，英国的威廉·姆士首先使用π这个符号，用来表示圆周和直径的比值，但只是在欧拉于1737年采用了这方法以后，π才在这种情况下得到了普遍的应用。

1873年，英国人威廉·桑克斯利用麦新的公式计算π到70位。

1961年，美国的雷思奇和D·桑克斯用电子计算机得出π值的100000位数字。

在中学数学书中这样提出：以e为底的对数叫做自然对数。那么e到底有什么实际意义呢？

1844年，法国数学家刘维尔最先推测e是超越数，一直到了1873年才由法国数学家埃尔米特证明e是超越数。

1727年，欧拉最先用e作为数学符号使用，后来经过一个时期人们又确定用e作为自然对数的底来纪念他。有趣的是，e正好是欧拉名字第一个小写字母，是有意的还是偶然巧合？现已无法考证！

e在自然科学中的应用并不亚于π值。像原子物理和地质学中考察放射性物质的衰变规律或考察地球年龄时便要用到e。

在用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度时也会用到e，在计算储蓄最优利息及生物繁殖问题时，也要用到e。

同π一样，e也会在意想不到的地方出现，例如：“将一个数分成若干等份，要使各等份乘积最大，怎么分？”要解决这个问题便要同e打交道。答案是：使等分的各份尽可能接近e值。如，把10分成10÷e≈3.7份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份为10÷4=2.5，这时2.5^4=39.0625乘积最大，如分成3或5份，乘积都小于39。e就是这样神奇的出现了。

1792年，15岁的高斯发现了素数定理：“从1到任何自然数N之间所含素数的百分比，近似等于N的自然对数的倒数；N越大，这个规律越准确。”这个定理到1896年才由法国数学家阿达玛和几乎是同一时期的比利时数学家布散所证明。以e为底还有很多优越性。如以e为底编制对数表最好；微积分公式也具有最简的形式。这是因为只有e^x导数就是其自身，即d/dx (e^x)=e^x。

意义

超越数的证明，给数学带来了极大的变革，它证明了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题，即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题都是尺规不能问题（无法用尺规证明的问题）。

各种形式

π 和 e 的无穷级数形式

有趣的是，π 和 e 可以用无穷级数表示：

π＝4(1/1－1/3＋1/5－1/7＋1/9－1/11＋…)＝4∑((-1)n/(1+2n))，n∈N

e＝1/(0!)＋1/(1!)＋1/(2!)＋1/(3!)＋1/(4!)＋1/(5!)＋… =∑1/(n!)，n∈N

π 的反正切函数形式

除了无穷级数形式，π 还可以用反正切函数表示：

π＝16arctan1/5－4arctan1/239，

π＝24arctan1/8＋8arctan1/57＋4arctan1/239。

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