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车问题

棋盘上的组合问题

车问题(problem of rook)是一类棋盘上的组合问题，设B是一个由m行n列的方格组成的广义棋盘，B上有一些禁用格，其余均为可用格，车问题是：将k只象棋棋子车按下列规则分布在棋盘B上，使得：1.每个车放在一个可用格上；2.任意两个车不在同一行或同一列上；问不同的分布数是多少?一个与给定的棋盘B相联系的m×n(0，1)矩阵A'(a'ij)称为是一个棋阵，这里，当B的位于第i行、j列的方格为禁用格时，a'ij=1；而当B的位于第i行、j列的方格为可用格时，a'ij=0，若Ai={j|a'ij=0，1≤j≤n}，i=1，2，…，m，则{A1，A2，…，Am}是集合{1，2，…，n}的子集族，{A1，A2，…，Am}的关联矩阵就是一个(A1，A2，…，Am)限位排列的关联矩阵，m个车在与棋阵A'(a'ij)相应的棋盘B上的布阵数，等于(A1，A2，…，Am)限位排列总数N0(m，n)=per A，研究车问题的主要工具是车多项式。

基本介绍
考察由n个相异元 作成的任一个全排列 ( 是由1，2，…，n作成的一个全排列)。在这个排列中，元排在第k位，于是这个排列对应于n个车(象棋中的一种棋子)在n×n棋盘上这样的放置方法：在第行第k列的格子上放一个车。因为 彼此相异且，所以在n×n棋盘上，每一行有且仅有一个车，每一列也有且仅有一个车，也就是说，任何两个车既不同行也不同列。
设n是任一个正整数，从一个n×n棋盘中删去若干个格子后所得的图形称为一个棋盘。设C是任一个棋盘，把个车放在棋盘C上，使得任何两个车既不同行也不同列，k个车在棋盘C上这样的放置方法称为k个车在棋盘C上的一种好布局，以表示k个车在棋盘C上的好布局数，并约定。
例题解析
【例1】对于棋盘C：
求。
解：，当k≥3时，。
【例2】 证明：对于n×n棋盘C，有
证明：可依如下两个步骤去完成k个车在C上的好布局：
(1)选出k个车所放的k行，有 种方法；
(2)把k个车放在已选出的k行格子上，每行放一个车，且彼此不同列，有 种方法。
由乘法原则，有
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