连续公理

理学领域术语

连续公理是基本的几何公理之一。指希尔伯特-欧几里得几何系统公理表中的第四组公理。它包含2条连续公理。

公理简介

基本的几何公理之一。指希尔伯特-欧几里得几何系统公理表中的第四组公理。它包含2条连续公理：

Ⅳ1.(阿基米德公理) 设AB和CD是任意两条线段，则在直线AB上存在着有限多个点A1，A2，…，An，使得A1在A和A2之间，A2在A1和A3之间等，并且线段AA1，A1A2，…，An-1An都合同于线段CD，而B在A和An之间，如图1所示。

Ⅳ2.(康托尔公理) 设在任意直线a上给了线段的无穷序列A1B1，A2B2，…，其中每个后面的都在前面一个的内部；又设不存在这样的线段，它能在所有这些线段的内部。那么在直线a上，有且仅有一个点x，它落在所有这些线段A1B1，A2B2，…的内部。如图2所示。

应当指出，在德国数学家希尔伯特(Hilbert，D.)的经典叙述中，连续公理是由上述阿基米德公理和另一条称为完备公理的两条公理组成的，而没有上述康托尔公理。这里已对希尔伯特的经典叙述做了改动，亦即把完备公理改成为上述康托尔公理。当然，可以严格证明经过改动后的公理系统与原来的公理系统是等价的.所以从本质上说，并没有作什么改动。

为便于叙述完备公理，现将经过改动后的希尔伯特-欧几里得几何公理系统记为EH，而将在EH中去掉上述康托尔公理后所构成的几何公理系统记为EH.那么可将希尔伯特经典叙述中的完备公理陈述如下：

对于由被称为点、直线、平面等几何元素组成的系统Σ而言，在保有EH的所有公理的情况下，不再允许Σ有任何新的扩充。即不可能再在Σ中引入新的点、直线、平面等几何元素而构成一个扩张了的系统Σ′，并且在Σ′上保持EH的所有公理。

基本几何公理

一种重要的几何公理系统。指德国数学家希尔伯特(D.Hilbert)提出的欧几里得几何的公理系统。它包括三个基本元素、三个基本关系和五组(共20条)公理，其基本结构如下表所示：

结合公理

亦称关联公理或从属公理。规定基本对象点、直线、平面之间从属关系的一组公理。基本的几何公理之一。指希尔伯特-欧几里得几何系统公理表中的第一组公理。它包含8条结合公理：

Ⅰ1.对于任意两个不同的点A和B，至少有一直线a连结A和B。

Ⅰ2.对于任意两个不同的点A和B，至多有一直线a连结A和B。

Ⅰ3.任一直线上至少存在着两个点，又至少存在着不在同一条直线上的三个点。

Ⅰ4.任给不在同一条直线上的三个点A，B，C，至少存在一个平面通过A，B，C。又任一平面上至少有一个点。

Ⅰ5.任给不在同一条直线上的三个点A，B，C，至多存在一个平面通过A，B，C。

Ⅰ6.如果一条直线上的两个点落在同一个平面上，则该直线上的任何一点都落在该平面上。

Ⅰ7.如果两个平面有一个公共点，则它们至少还有另一个公共点。

Ⅰ8.至少存在着四个点，它们不在同一个平面上。

应当指出，在上述8条结合公理中，仅有少数几条出现在《几何原本》中，大部分是德国数学家希尔伯特(D.Hilbert)补入的。因为欧几里得(Euclid)和历史上不少几何学家在自己的论证中持有空间直觉观念，例如，他们总是直觉地认为直线上必有无穷多个点，而且既不将此列为公理，又在论证中无条件地承认并使用它。在这个系统里，它可作为一条定理证明之，由于公理应尽可能少，故也不必将此列为公理。

顺序公理

基本的几何公理之一。指希尔伯特-欧几里得几何系统公理表中的第二组公理。它包含4条顺序公理：

Ⅱ1.若A，B，C是直线a的三个不同的点，并且B在A与C之间，则B也在C与A之间。

Ⅱ2.任给两点A和C，则过A和C的直线上至少还存在着一点B，使得C在A和B之间。

Ⅱ3.直线上任意三点，至多只有一点在其余两点之间。

Ⅱ4.德国数学家帕施(Pasch)公理：任给不在同一条直线上的三个点A，B，C，又直线a落在过A，B，C的平面α上，并且a不通过A，B，C中任一点，则当a通过线段AB内部的点时，则a或者还通过线段AC内部的点，或者还通过线段BC内部的点。

合同公理

基本的几何公理之一。指希尔伯特-欧几里得几何系统公理表中的第三组公理。它包含5条合同公理：

Ⅲ1.设A，B为直线a上的两个点，又A′是直线a′(也允许a与a′为同一条直线)上的点，则在a′上点A′的某一侧，有且仅有一点B′，使得线段AB与线段A′B′合同(或说AB等于A′B′)，记为AB≡A′B′.对于每个线段AB都有合同关系AB≡BA。

Ⅲ2

Ⅲ3.如果AB和BC是直线a上的两个线段，且无公共的内部的点，又A′B′和B′C′为同一条或另一条直线a′上的两个线段，它们也没有公共的内部的点.如果此时AB≡A′B′且BC≡B′C′，则有AC≡A′C′。

Ⅲ4.设∠(h，k)在平面α上，又在同一个或另一个平面α′上给定一直线a′及其确定的一侧，h′是由a′上一点O′出发沿着a′的半直线，那么在a′上由O′出发有且仅有一射线k′，使∠(h，k)合同于∠(h′，k′)，同时∠(h′，k′)内部的点都在a′原先确定的一侧.如果∠(h，k)合同于∠(h′，k′)，则记为∠(h，k)≡∠(h′，k′).又∠(h，k)≡∠(h，k)，∠(h，k)≡∠(k，h)。

Ⅲ5.设A，B，C为不共线的三个点，而A′，B′，C′亦不在一条直线上.如果AB≡A′B′，AC≡A′C′，并且∠BAC≡∠B′A′C′，必有∠ABC≡∠A′B′C′，并且∠ACB≡∠A′C′B′。

平行公理

基本的几何公理之一。指希尔伯特-欧几里得几何系统公理表中的第五组公理。其中只含1条平行公理：

Ⅴ1.过平面上任一已知直线外的任一点，至多只能引一条直线与该已知直线平行。

注意在欧几里得几何意义下，同一平面上没有公共点的两条直线称为平行的。这里对上述平行公理所采用的叙述方式称为普莱费尔公理，也是《几何原本》中之第五公设的等价命题之一。

人物简介

——希尔伯特

德国著名数学家、哲学家、数学哲学中形式主义学派的创始人。 1862年生于维拉沃。毕业于克尼格斯贝尔格大学，后在该校任教授。1893年任哥尼斯堡大学数学教授， 1895年起在哥廷根大学工作达35 年，形成庞大学派，使该大学成为当时世界数学研究中心之一。1913 年当选柏林科学院通讯院士，后成为荣誉院士。1884～1916年主要从事数学研究，几乎对近代数学的每一个部门，如不变或理论、几何学原理、积分方程、数学物理学、数学逻辑基础等均有研究，对相对论和量子理论，也作出了重要贡献。 1943年在哥廷根逝世。主要著作有《几何学基础》(1899)、《公理化思想》 (1917)、《论无限》(1920)、《数学基础》 (两卷，1934、1939，与贝尔奈斯合著)、《自然认识与逻辑》(1941)等。希尔伯特创立了以建立数学的“形式体系” 为宗旨，以逻辑上的无矛盾性为数学可靠性和真理性的标准的数学哲学的形式主义，同逻辑主义、直观主义并称为数学哲学的三大流派。在希尔伯特的理论体系中，数学只是一种抽象的、按一定法则排列的符号的形式体系，它本身是没有内容的，具有无矛盾性。他在哲学问题上有自己独到的见解： (1)批判了孔德的不可知论，嘲笑孔德之所以找不到一个不可解的问题是因为根本就没有不可解的问题。 (2)在建立数学理论时，采用了哲学中先验的直观思维方式。先验的判断力是构成人类认识活动的基础，无论是从事实践活动还是理论研究工作，这种判断力都是必不可少的。以往所有的哲学问题，归根到底就是确认有先验的直观的思维方式存在，以此为出发点，进而探讨形成每一个概念知识的可能条件和产生每一个经验知识的可能条件。希尔伯特是20世纪最伟大的数学家之一，他的贡献深深影响了20世纪的数学发展。

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