选择公理

数学术语

选择公理（Axiom of Choice，缩写AC）是数学中的一条集合论公理，以下用一个较简单的描述：选择公理设C为一个由非空集合所组成的集合。那么，我们可以从每一个在C中的集合中，都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合。

定义

设Λ为集，对λ∈Λ有Mλ，定义∏λ∈ΛMλ为集Mλ的积，为φ:Λ→∪λ∈ΛMλ满足φ(λ)∈Mλ，即为集族(mλ|λ∈Λ,mλ∈Mλ)。

则选择公理为若对所有λ∈Λ，Mλ≠∅，则∏λ∈ΛMλ≠∅。即若每个Mλ都存在一个元，就存在一个函数选择每个Mλ中的一个元。

等价定义

首先定义几个概念：

1）集族：指由非空集合组成的集合。

2）选择函数：它是一个集族上的函数。它规定：对于所有在集族X中的集合s，f(s)是s的一个元素。

那么，选择公理表示：

上述可表示为：

或者：

设X是一个集族，则存在着在X上定义的一个选择函数f。

该定理也可表达为：集族上的任意笛卡尔积总是非空的。

公理介绍

选择公理声明，对所有非空指标集族，总存在一个索引族，对每一个，均有。选择公理最早于1904年，由恩斯特·策梅洛为证明良序定理而公式化完成。

非正式地说，选择公理声明：给定一些盒子（可以是无限个），每个盒子中都含有至少一个小球，那么可以作出这样一种选择，使得可从每个盒子中恰好选出一个小球。在很多情况下这样的选择可不借助选择公理；尤其是在“盒子个数有限”和“存在具体的选择规则”（当每个盒子都恰好只有一个小球具有某项特征）这两种情况下。再举一个例子，假设有许多（甚至是无限）双鞋子，则我们可以选取每双鞋左边的鞋子构成一个具体的选择。然而，假设有无限双袜子（假设每双袜子都没有可区分的特征），在这种情况下，有效的选择只能通过选择公理得到。

尽管曾具有争议性，选择公理现在已被大多数数学家毫无保留地使用着，例如带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）。数学家们使用选择公理的原因是，有许多被普遍接受的数学定理，比如是吉洪诺夫定理，都需要选择公理来证明。现代的集合论学家也研究与选择公理相矛盾的公理，例如决定公理。

在一些构造性数学的理论中会避免选择公理的使用，不过也有的将选择公理包括在内。

简单描述

选择公理有很多等价的形式（equivalent form），以下用一个较简单的描述：

选择公理：

设C为一个由非空集合所组成的集合。那么，我们可以从每一个在C中的集合中，都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合。

变体

1.第二个版本的选择公理声称：

给定由相互不交的非空集合组成的任何集合，存在着至少一个集合，它与每个非空集合恰好有一个公共元素。

2.第三个版本声称：

对于任何集合A，A的幂集（减去空集）有一个选择函数。

使用这个版本的作者通常谈及“在A上的选择函数”，但要注意这里选择函数的概念是稍微不同的。它的定义域是A的幂集（减去空集），因此对任何集合A有意义；至于本文中其他地方用的定义，在“集合的搜集”上的选择函数的定义域是这个搜集，所以只对集合的集合有意义。

透过这个变体的定义，选择公理也可以简洁的陈述为：所有集合有一个选择函数。它等价于对于任何集合A有一个函数使得对于A的任何非空子集B，。

而选择公理的否定表达为：有一个集合A使得对于所有函数f（在A的非空子集的集合上），有一个B使得。

相关术语

以下列出了这篇条目中各种与选择公理相关的缩写：

1）AC：选择公理。

2）ZF：策梅洛-弗兰克尔集合论，不包括选择公理。

3）ZFC：策梅洛-弗兰克尔集合论，包括选择公理。

举例说明

为令读者有进一步的了解，以下是一些例子：

数学化例子

1a. 如果C为{1，2，3，…}的所有非空子集的集合，那么，我们可以定义一个新集合，使得它的元素为每一个在C中的集合的最小元素和所在集合配成的有序对。

2a. 如果C为所有长度有限而非零的实数区间的集合，那么，我们可以定义一个新集合，使得它的元素为每一个C中的区间的中间点和所在区间配成的有序对。

实在例子

看来也算是合理，但以上的例可能较数学化、较难理解，现在再用个较实在的例子，

3a. 如果在前面放了放置了几堆苹果。那么，我们可以在每堆中选取一个苹果，再把它们放在新的一堆内。

看了这个例子，可能令你更加明白，不过要留意的是所谓“几堆”，可能是无限堆，而每堆苹果也可能是有无限个的，那么，可以换成

3b. 如果在前面放了放置了无限堆苹果，而每堆苹果也有无限个。那么，我们可以在每堆中选取一个苹果，再把它们放在新的一堆内。

这个便是“选择公理”。看来也很合理，既然每一堆也是有苹果的，当然可以在每一堆中选择一个苹果出来，不论每堆的苹果数目的多少，和堆数的多少，“应该”也能做到。

但在这堆苹果中，究竟选择那一个呢？或许有人会说：“随便一个便可！”但什么是“随便”呢？可否具体点陈述出来呢？这个“随便”的方法是否必然存在呢？

如果数学化点看问题，根据“选择公理”，

2b. 如果C为所有长度非零的实数区间，那么，我们可以定义一个新集合，使得它的元素为每一个C中的区间中的点和所在区间配成的有序对。

如果仔细的看2b，“每一个C中的区间中的点”，哪一点呢？最大的那一点？最小的那一点？中间的那一点？通通也不存在，因为“长度非零的实数区间”是包括了长度无限的区间，那便可能没有了所谓“最大”、“最小”或“中间”等概念。那么，如何具体地陈述出方法呢？这个方法会不会不存在呢？

这个问题可能还是可以回答的，只是要复杂一些，将集合分为3类：有限的取中间点，一面无限的取另一面的边界+1或-1，而(-∞，+∞)中取0。

没有答案

然而下面的问题就确实无法给出答案：

1b. 如果C为实数集R的所有非空子集的集合，那么，我们可以定义一个新集合，使得它的元素为每一个在C中的集合的某一元素和所在集合配成的有序对。

可能有人认为，即使是不能陈述出方法，也不能因此就否定或放弃这公理，因为在数学上有很多“存在性定理”（Existence Theorems），都是只指出某事件的存在性，而不具体描述寻求的方法，例如：中值定理（Mean Value Theorem）及洛尔定理（Rolle's Theorem），都是已证明是正确的存在性定理，所以只要能证明这公理是正确，便可以继续使用。

另外，不能具体陈述出方法，也有可能是括限于人类在语言上的障碍，也即是说，只是不能用人类的语言表达而已，正如最伟大的文学家，也只是用他们认为最适当的语句来表达，可能受到语言限制，不能完全反映他们内心的思想，正所谓“不能言喻”。

争议

尝试证明

但“选择公理”当然不是这般简单，它的不可思议，它的奇妙用法，以及它所导致的结果，到现在才是开始。

要证明选择公理，并非一件容易的事，其中一个原因是选择公理不单是一条简单的数学命题，而是牵涉较基层的数学──集合论。而集合论正就是数学的基础理论，所以在证明时，工具也会较少。

不少的数学家也曾尝试证明选择公理，他们希望用最基本的工具来作证明，但往往在这些证明中，都用了一些并不基本的理论，例如：“良序定理”（Well-ordering Theorem）及“佐恩引理”（Zorn's Lemma），

良序定理

所有集合能被良序化。换句话说，对每一个集合来说，都存在一种排序方法，使得它的所有子集都有极小元素。

佐恩引理

若一偏序集是归纳序集，那么，它必然存在最大元素。换句话说，如果在一个偏序集的每一条链在原来的偏序集中都存在着上界，这偏序集必存在最大元素。

等价命题

这些理论，即使只是从字面的解释，也不容易判断它的真确性，而事实上，“良序原理”及“佐恩引理”是不能用基本工具证明的。直至现时为此，也没有人能用基本工具来证明“选择公理”。

更有趣的结果是原来“选择公理”、“良序原理”及“佐恩引理”都是等价的命题，也就是说它们是在描述同一样的事件。多年以来，所发现的“选择公理”的等价命题实在不少，网主并没有统计过，某些的书籍可写出约30个等价命题，网主亦搜集了部分等价命题（英文版）可供网友参考，而人类只是在这些命题与命题间兜兜转转。

争论

由此可知，要在数学上证明或否证“选择公理”并非易事，所以数学家便转移目标，从逻辑系统中看看它的相容性。而事实上，经证明所得，现在我们常用的ZF公理系统与“选择公理”是相容的，也就是说用ZF公理系统不能得出“选择公理”的逻辑矛盾。如果我们选择接纳“选择公理”，则便有一套包含“选择公理”的公理系统，一般称“ZFC公理系统”；否则，便不接纳它在公理系统之内，在能把它证明之前，也不能接受它是一“定理”。

不过，这个争论依然未完，因为对于这条公理不只是接纳和不接纳的问题，如果放弃这条公理，有很多美好且乎合“常理”的结果会同时被放弃；但它实际上又与很多“常理”大不协调。

其中一个为人熟识的不合乎常理的结果是“巴拿赫─塔斯基悖论”（Banach-Tarski Paradox），或称“分球问题”。这个悖论可以说是违反了物理学定律，因为这个悖论说可以把一个单位球体（半径为1）分成有限个点集（最少可分成五份），然后通过一些刚体运动，即旋转和平移，再重新组合，不过在组合后，竟然成为两个单位球体，也即是体积增加了一倍，而这个悖论的证明是必须利用到“选择公理”的。也就是说，如果我们选择接纳“选择公理”，则“巴拿赫─塔斯基悖论”便是一条定理，但现实中有这个可能吗？

这其实也是牵涉另一个数学概念──可测集合（Measurable Set）。“巴拿赫─塔斯基悖论”便是存在不可测集合的结果。如果我们接纳“选择公理”，则我们必须接纳不可测集合。若我们不接纳“选择公理”，则可设所有集合皆是“勒贝格可测的”（Lebesgue Measurable），而这个假设也可能是较合乎常理。

但是，如果放弃选择公理，也会有一些很不合常理的情况出现。这些情况取决于选定的不符合选择公理的模型。如在Cohen模型中，存在一个函数，它在一点x0处是不连续的，但对于任何极限为x0的数列{an}，{bn=f(an)}的极限都是f(x0)。换句话说，用任何逼近x0的数列时，函数值都能逼近f(x0)，而这恰恰是“连续性”的体现。有些模型更是否定“二元可数选择公理”（可数个二元集合上选择公理成立），而这条公理等价于“可数个不交二元集的并集可数”！

没有结论

总而言之，“选择公理”是一条十分争议性的命题，一般的数学家都接受这条公理，因为可以从而得出很多有用的结果，反正使用这公理是没有逻辑矛盾的。但对于逻辑家或集合论家来说，这是一个必须解决的问题，有些人会建议用较弱的“可数选择公理”（Countable Choice）来代替，而确实有很多结果是可以利用可数选择公理来证明的，不过这样只是暂时回避问题，而且依然有些结果是必须用到“选择公理”的。

著名哲学家兼数学家罗素（Bertrand Russell）曾说过：“由无限双袜子中，每双选择一只出来的话，我们需要‘选择公理’，但如果换成是鞋的话，那便不必了。”因为鞋是可以分左右的，袜子则两只没什么分别，不知如何选择。另外，如果只有有限双袜子，在逻辑上是可以不用“选择公理”的。

邦拿（Jerry Bona）也曾说过：“‘选择公理’明显是正确的；‘良序原理’明显是不正确的；‘佐恩引理’又有谁可决定呢？”这虽然是一个笑话，但从此可知道人的直觉并不一定跟从数学的思维。在数学上，这三个命题是等价的，但对于“选择公理”，很多数学家都直觉它是正确的；对于“良序原理”，很多数学家都认为存在问题；“佐恩引理”则复杂得很多数学家也不能单凭直觉作判断。

“选择公理”确是一条谜样的公理，虽然看似十分浅显，但却有奇妙的功能，甚至有超乎常理的结果。有些人对它投以信任一票，有些人则抱怀疑态度。有关这条公理的讨论和研究，相信还会继续，那便看看数学家如何把它解决。最后，网主用罗素的一句话作结束，他在谈及“选择公理”时曾说：

“起先它似乎是明白的；但你愈多思考它，由这公理得出的推论就好像变得愈奇怪；最后你完全不明白它的意思到底是甚么了。”

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