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透视仿射对应

数学名词

把直线(平面)上的点经过平行投影到另一直线(平面)上，这样得到的点与点间的对应称为“平行透视”，把一个图形经过有限次平行透视后变成另一个图形时，叫作“仿射对应”，由一回的平行投影所成的仿射对应，又称为“透视仿射对应”，把同一平面内单方面的透视仿射对应，称为透视仿射变换。

基本介绍
透视仿射对应(perspective affine correspondence)亦称平行投影，是仿射几何中的一种对应，指两个点集间通过平行投影所建立的对应。设α与β是两个平面(如图1)，过α内各点A，B，C，…，引直线平行于给定的方向，交β于A′，B′，C′，…，这样使α内的点与β内的点建立起一种一一对应关系，这种对应称为α到β的透视仿射对应。透视仿射对应与给定的方向有关，沿不同方向作平行线，就得到α与β间不同的透视仿射对应，透视仿射对应保持同素性，即在该对应下，对应的几何元素保持同一种类。例如，它把点仍变成点，另外，把直线仍变为直线，透视仿射对应还保持点与直线的结合性(即点在直线上或直线经过点)，两直线的平行性及共线三点的单比不变。
分类
同一平面内直线a到直线a'的一种对应关系
设为平面上另一直线，它与直线a和a'均不平行，通过直线a上各点A，B，C，…分别作的平行线交a'于A'，B'，C'，…，这样便得到了直线a到a'的一个一一对应，称为透视仿射对应(平行射影)，如图2所示，显然，透视仿射对应和直线的方向有关。如果直线a和a'相交，则交点是自对应点或称为二重点(不变点)。
空间两个平面间的透视仿射对应
设有平面和，直线与平面和都不平行，如图3所示，通过平面内各点A，B，C，……分别作的平行线交平面于A'，B'，C'，……，这样平面内的点与平面内的点建立了一一对应，称为平面到的透视伤射对应(平行射影)。显然，平面和间透视仿射对应也与直线的方向有关。如果平面和相交于直线m，则m上的每一个点都是自对应点(二重点)。
主要性质
透视仿射对应的性质：
(1)透视仿射对应保持同素性。
(2)透视仿射对应保持结合性。
(3)透视仿射对应保持共线三点的单比不变。
(4)透视仿射对应保持二直线的平行性。
设P1，P2，P为共线三点，定义
其中是有向线段的数量，称为共线三点P1，P2，P的单比，P1，P2叫基点，P叫分点。
当P在P1，P2之间时，(P1P2P)<0；
当P不在P1，P2之间时，(P1P2P)>0；
当P与P1重合时，(P1P2P)=0；
当P与P2重合时，(P1P2P)不存在。
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