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阶跃响应

激励为单位阶跃函数

在给定初始状态下系统的阶跃响应包括当其控制输入是Heaviside阶跃函数时其输出的时间演变。在电子工程和控制理论中，阶跃响应是在非常短的时间之内，一般系统的输出在输入量从0跳变为1时的体现。应用该函数以及冲激函数可以方便地描述动态电路的激励和响应。脉冲响应是阶跃响应的导数。

阶跃函数符号及定义式
单位阶跃函数
单位阶跃函数用ε（t）表示，其定义式如下：
t<0时，ε（t）=0；
t>0时，ε（t）=1；
该定义式表明，在该函数t<0时，其值为0,；t>0时，其值为1；当t=0时，发生跳变，其值未定，而当t由负值或正值趋近于0时，其值则是确定的，即ε（t=0-）=0，ε（t=0+）=1。
阶跃函数可以用来描述开关动作。
移位的单位阶跃函数
单位阶跃函数用ε（t-t0）表示，其定义式如下：
t
t>t0时，ε（t）=1；
该定义式表明，在该函数tt0时，其值为1；当t=0时，发生跳变，其值未定。
单位冲激函数与单位阶跃函数之间的关系
即单位冲激函数等于单位阶跃函数对时间变量的导数。反之，单位阶跃函数等于单位冲激函数的积分。
阶跃响应的定义
阶跃响应g(t)定义为：系统在单位阶跃信号u(t)的激励下产生的零状态响应。
在电子工程和控制理论中，阶跃响应是在非常短的时间之内，一般系统的输出在输入量从0跳变为1时的体现。
阶跃响应的图像
在响应初期会产生一定的波动，之后便会向稳定值逼近，直至可以判定为稳定状态。
数学模型
非线性系统
当系统为非线性系统时，阶跃响应被定义为：如图2的公式所示
为了强调这个概念所以将H（t）显示为下标。
线性系统
对于线性时不变网络，阶跃响应可以通过Heaviside阶跃函数和系统本身的脉冲响应h（t）的卷积求得
其对于LTI系统的效果等效于仅仅集成后者。 相反，对于LTI系统，阶跃响应的导数产生脉冲响应：
然而，这些简单的关系对于非线性或时变系统是不成立的。
实际意义
从实际的角度来看，了解系统如何响应是非常重要的，因为与长期稳定状态大的与快的偏差可能对组件本身和取决于该组件的整个系统的其他部分产生具有剧烈的影响。此外，整个系统不能响应，直到组件的输出稳定到其最终状态的某个附近，从而延迟了整个系统响应。因此，了解系统的阶跃响应给出关于这种系统的稳定性以及当从另一个系统启动时达到一个静止状态的能力的信息。
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