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黎曼ζ函数

数学术语

黎曼ζ函数主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学和齐夫-曼德尔布罗特定律（Zipf-Mandelbrot Law））、物理，以及调音的数学理论中。

定义
黎曼ζ函数ζ（s）的定义如下： 设一复数s，其实数部分> 1而且：
它亦可以用积分定义：
在区域{s: Re(s) > 1}上，此无穷级数收敛并为一全纯函数（其中Re表示复数的实部，下同）。欧拉在1740考虑过s为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到s>1。波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域（s,s≠ 1）上的全纯函数ζ（s）。这也是黎曼猜想所研究的函数。
历史
奥里斯姆
ζ函数最早出现于1350年左右，当时的尼克尔·奥里斯姆发现了调和级数发散，即
欧拉
之后的一次进展来自莱昂哈德·欧拉，他给出了调和级数呈对数发散。除此之外，他还在1735年给出了巴塞尔问题的解答，得到 的结果。欧拉最初的证明可以在巴塞尔问题中看到，然而那是他的第一个证明，因而广为人知。事实上，那个证明虽有不严谨之处，但是欧拉仍然有自己的严格证明。欧拉在1737年还发现了欧拉乘积公式： 这是ζ函数与素数的联系的朦胧征兆，其证明可以在证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式中看到。通过这条公式，容易证明当 时， 。
1749年，欧拉通过大胆的计算发现了
发现ζ(s)与ζ(1-s)之间存在某些关系。
黎曼
将欧拉所做的一切牢牢地置于坚石之上的是黎曼，他在1859年的论文论小于给定数值的素数个数以及未发表的手稿中做出了多项进展：
第一积分表示： 。
完备化的ζ，即黎曼ξ函数： ，满足函数方程 。
第二积分表示： ，则 。
黎曼 - 冯·曼戈尔特公式：以 表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量，则 。
黎曼猜想：ζ函数的所有非平凡零点的实部非常有可能均为1/2。
第三积分表示： ，其中围道γ逆时针环绕负实轴。
黎曼-西格尔公式：给出计算ξ函数的数值的方法
零点的计算：计算了虚部介于0与100的所有零点的数值
素数的分布公式：引入黎曼素数计数函数，给出了它与ζ函数的关系
阿达马与普森
1896年，雅克·阿达马与普森几乎同时地证明了 的所有非平凡零点的实部均小于1，即 上无非平凡零点，从而完成了素数定理的证明。
希尔伯特
1900年，希尔伯特在巴黎的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出了23道最重要的数学问题，黎曼假设在其中作为第8题出现。
之后，希尔伯特提出了希尔伯特－波利亚猜想，具体时间及场合未知。
玻尔与兰道
1914年，哈那德·玻尔和爱德蒙·兰道证明了玻尔-兰道定理：含有临界线的任意带状区域都几乎包含了ζ的所有非平凡零点，表明了临界线为零点汇聚的“中心位置”。
李特尔伍德
1921年，哈代和李特尔伍德证明了存在常数T，使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为 。
塞尔伯格
1942年，阿特勒·塞尔伯格更进一步，证明了存在常数T，使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为 ，这意味着ζ函数在临界线上的非平凡零点在所有零点中占有一个正密度，而临界线 对于临界带 的测度为0。
解析延拓
ζ函数原本定义在右半平面 上，并且在此区域内为全纯函数
解析延拓后在全局具有积分表达式
满足函数方程
特别地，如果考虑正规化的ζ，即黎曼ξ函数
那么它满足函数方程
数论函数
黎曼ζ函数可看做是具有如下形式的级数的一个特例：
这种类型的级数被称作狄利克雷级数。当f为狄利克雷特征时，又称作狄利克雷L函数，也有与黎曼猜想相应的广义黎曼猜想。
为了方便对数论函数作讨论，此处引入狄利克雷卷积 ： 。
设 ，于是显然 。
于是，如果数论函数 ，亦即 (此时， 与 可通过默比乌斯反演公式相互转换)
那么 。通常两侧的求和有一个是相对简单的函数，或是和 直接相关的函数
如果对 的求和较简单，可以将 相联系，反之可以将 相联系，即 。
佩龙公式
ζ函数与数论函数存在的联系可以通过佩龙公式转化为它和数论函数的求和的关系：设
则由佩龙公式，
其中右上角的'表示如果x是整数，那么求和的最后一项要乘以 。
这样做的其中一个结果就是ζ函数和素数分布的关系。
零点
解析延拓之后的ζ函数具有零点，他们分别是分布有序的平凡零点（所有负偶数），以及临界带 内的非平凡零点。以 表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量，则 遵循黎曼 - 冯·曼戈尔特公式： 。
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