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n维射影变换

数学学术语

n维射影变换(n-dimensional projective transformation)亦称n维直射对应，是一类n维变换。指Pn中的一一对应。

基本介绍
定义1 n维射影空间的点变换若满足，则称变换为射影变换，又称直射变换，其中，为标量，x与y分别为变换前后空间点的齐次坐标，，M为满秩的(n+1)×(n+1)矩阵。
我们以一维射影变换为例写出上述变换：
由上式得
将以上两式相除得到变换前后点的非齐次坐标的关系：
由式(4)可知，射影变换中，非齐次坐标的变换关系是非线性的。一般地，n维射影变换的矩阵等式中包含了n+1个方程，消去后，得到变换前后非齐次坐标的n个方程。
由定义，射影变换由M矩阵决定，而M矩阵有(n+1)2个参数，但M与kM表示同一变换(因等式两边都是齐次坐标)，故M的独立参数为(n+1)2-1。
相关定理
定理1由式(1)表达的变换保持直线上点列的交比不变，即
其中A，B，C，D与A'，B’，C’，D'分别为变换前后的对应点与分别为这些点的非齐次射影坐标。事实上，交比中的每一项应是两点间非齐次射影坐标的差，只有当直线上的坐标系为欧氏坐标系时，才等于两点间的距离。
射影变换的几何定义与代数定义是一致的，这一点可由以下定理得到：
定理2 保持点列的交比不变是射影变换的充分必要条件。
由几何方法定义的射影变换和由代数方法定义的射影变换都保持交比不变，故由定理2知，它们是同一种变换。
仿射变换是射影变换的特例，在射影几何中已证明，如果射影变换使无穷远点仍变换为无穷远点，则变换为仿射变换，在上述一维变换中，若x为无穷远点，则x2=0，于是，上述仿射变换的条件变为，对任何满足x2=0的点，变换后有y2=0。于是，由式(3)可容易地推出，该条件相当于m21=0。一般地，对n维射影变换，仿射变换的条件变为，即M矩阵的最后一行的前n个元素等于零。以两维为例，我们有：
上式可写成
消去并记得到非齐次坐标的变换形式：
将式(6)与射影变换中非齐次坐标的变换关系相比较(见式4)，可见，用非齐次坐标表示的射影变换为非线性变换，而仿射变换为线性变换，我们将式(6)写成矩阵形式，并给出仿射变换的定义。
定义2 空间点的非齐次坐标的如下变换称为仿射变换：
其中为n维向量，分别为变换前后的点的非齐次坐标，M为n×n满秩矩阵。显然，欧氏变换为仿射变换的特例，即当M为单位正交矩阵时，式(7)描述的变换即为欧氏空间中的旋转平移变换.从以上定义可以看到，仿射变换是射影变换的特例，欧氏变换则又是仿射变换的特例。
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