一组几何元素由 k个参数组成的向量 P1表示．若 T为某一变换，T∈G ， G为某一变换群，这组几何元素经 T变换后，其参数组成的向量由 P1变为 P2(P1,P2 均为 k维向量)，如果 I(P1)=I(TP1)=I(P2)，则称函数 I(P)为在变换群 G下的不变量。
历史发展
希尔伯特在1892年之前主要研究不变量理论；他对这一课题最重要的贡献是在1890和1893年发表的。要理解它们在不变量理论历史中的地位，一个很有用的方法就是读一读希尔伯特自己为1893年的国际数学家大会准备的对这一理论的介绍。
布尔、
凯莱和
西尔维斯特论述不变量理论的早期作品发表之后的30年里，很多时间耗在计算特殊不变量上。除了前面提到的英国数学家之外，对这项活动做出重要贡献的还有
克莱布什和齐格弗里德·海因里希·阿龙霍尔德(1819～1884)，他们发现了三元三次形式的不变量，并确立了“符号”计算法。把这项工作系统化，就是要找出不变量的完整系统或基础；就是说，给定一个n次的x的形式，求出有理整数不变量及共变式的最小个数，使得任何其他有理整数不变量或共变式能够用完全集的有理系数表示为一个有理整数形式。埃尔朗根大学的数学教授保罗·戈尔丹(1837～1912)证明了存在二元形式的有限完全集。他表明，每个二元形式都有一个不变量与共变式的有限完全系，而且，任何二元形式的有限系都有这样一个系。戈尔丹的证明很笨拙，但显示了完全系如何能够计算；1886年，弗兰兹-梅尔滕斯(1840～1927)提供了一个更流畅的归纳证明，并没有显示系。希尔伯特1888年的著名成果更加一般，被称作“基本定理”。它作为论文《论代数形式理论》的定理1发表在1890年的《数学年刊》上。照例，希尔伯特把一个代数形式定义为一个某些变量的整有理齐次函数，它的系数是某个“有理域”中的数。该定理声称：对于任何有n个变量的形式所组成的
无穷序列，都存在一个数m，使得该序列中的任何一个形式都可以表示为
式中，Ai是有相同n个变量的形式。
希尔伯特把这个结果应用于证明对于任意多个变量的形式所组成的系，存在一个不变量的有限完全系。他在1893年发表的一篇很有影响的论文《论不变量的完全系》中，发展出了解决不变量理论问题的新方法。他强调，这一方法根本上不同于他的前辈们的方法，因为他把代数不变量理论当作
代数函数域的一般理论的组成部分来处理。
不变量的定义
由几何学知道，
射影变换保持直线、直线与点的结合性以及直线上点列的交比不变，
仿射变换除具有以上不变性还保持了直线的平行性，直线上点列的简比不变。欧氏变换除具有仿射不变性外还保持两条直线的夹角不变，任意两点的距离不变。这些不变量都是由一些几何元素的参数计算出来的量，如由点的坐标计算出两点的距离等。
不变量的数学定义：一组几何元素由 个参数组成的向量 表示．若 为某一变换， ， 为某一变换群，这组几何元素经 变换后，其参数组成的向量由 变为 ( 均为 维向量)，如果 ，则称函数 为在
变换群 下的不变量。
由定义可见， 为由参数计算出来的标量，可以是实数或复数，而且只要变换 属于同一变换群 ，则 与变换 的具体参数无关。
相同维变换空间的不变量
对于平面物体，它在画面上的投影也为两维平面，它们之间的关系为
仿射变换或
射影变换。若空间平面有n个点， ，假设这些点在图像画面上的投影点集合为 。如果变换为射影变换，则有 ，由于是两维射影变换，则M为3×3的可逆矩阵，该矩阵方程包含描述 与 关系的2n个方程，而M矩阵包含3×3-1=8个独立参数，若2n>8，则可在2n个方程中选取8个方程解出M矩阵系数，于是这些系数被表述为 与 的函数，将这些系数代入剩下的2n-8个方程中得到与M矩阵元素无关的恒等式，记为
若上式可分离为 ，则用 计算的 与用 计算的 恒等，即 就是所求的不变量，这说明不变量个数不超过2n-8个。显然，这种估算不变量个数的方法可以推广到n维空间。若几何元素由k个独立参数描述，对
n维射影变换应有 个独立参数，当 时应有 个不变量。
上面这种不变量个数的估计是不准确的，因为由变换前后参数得到的k个方程不一定完全独立。例如，当平面上5个点有4个共线时，则有一些方程不独立，实际上，这种情况只有一个不变量，即共线4点的交比，而且将上述的 变成 的形式也不一定成立，因而这种估计方法对不变量个数确定仅提供一种指导意义。对于仿射变换，这种方法同样可以估算不变量的个数，如对二维平面，几何元素由n个独立参数描述，仿射变换应有6个独立参数，因而不变量的个数应为2n-6。
不同维变换空间的不变量
具体思想是：对于三维物体，它在画面上的投影图像为二维平面，因而，这是一个从三维空间到二维空间的射影变换，变换关系为 ，其中U为图像平面上投影点的齐次坐标，X为三维空间点的齐次坐标，M为3×4矩阵。若有空间点集 ，其投影点集为 ，按上节所求不变量个数的方法应有2n-(3×4-1)=2n-11个不变量，但是分析表明不能从fk=0的式子中分解出 的形式。一般在什么情况下存在不变量有待进一步研究，由于大部分图像都是三维物体在平面上的投影所成，因而在理论上解决不变量的存在机制具有重要意义。
如果物体的大小较之与摄像机的距离很小，此时的射影变换可近似看作仿射变换或平面物体的射影变换，这种情况就可以计算出目标的不变量。
一些变换群的不变量
假设物体都是一些二维平面物体，且所有物体都在同一空间平面上，图像平面与物体平面平行，摄像机与物体平面距离较远，投影近似认为是平行投影。在这些假设下，同一物体不同图像间只差一个旋转、平移和尺度变换，即同一物体的不同图像的差别是由于物体的摆设的方向不同、位置不同或摄像机的间距不同所引起的尺度不同，则可以找到一些不变量只与物体的形状有关而与它们的位置、方向和尺度无关，分别称之为旋转不变量、平移不变量和尺度不变量。
矩不变量
矩不变量是欧氏变换群下的整体不变量。容易证明这些不变量为旋转、平移和尺度不变量，但是这些不变量受噪音影响大，不同矩的动态范围广。由于矩的计算涉及高阶矩，而且其积分范围在整个区域进行，因而计算量大，但是此积分区域的形状是由边界唯一确定的，据此，有的文献提出了许多矩的快速算法。此后，许多文献又提出了各种正交矩以及仿射不变矩等方法识别物体。
傅氏描述子不变量
是指用傅氏变换来描述图形的外边界作为识别物体的特征不变量，它将边界点(x，y)看作为一个复数x+iy，则边界序列形成一个函数，对其进行快速傅氏变换(FFT)，将得到的系数作为目标特征来识别物体。这种方法的优点是通常使用傅氏变换的前几项就可以相当准确的鉴别不同的形状，但是，傅氏变换需实现对边界的大小、旋转和起点的规范化才能成为欧氏变换下的不变量。
上面两个不变量都是物体图形的全局不变量，还有许多文献提出了大量的局部不变量，它们一般是根据目标边界的曲线特征来识别物体的，如将大于某一给定数值的边界点的曲率值作为特征不变量来识别物体。这些局部不变量对噪音敏感，受人为的主观因素影响强，而且计算量也非常大。但是它可以识别由于遮挡、变形等引起的缺失部分物体信息的目标，而全局不变量没有这种优点。
交比不变量
交比不变量是射影变换中的基本不变量。设给定4个共线点A，B，C，D，则交比 是
射影不变量。记为Cr(AB，CD)，其中AB表示从点A到点B的线性距离。交比Cr(AB，CD)与四个点A，B，C，D的排列顺序有关，显然这四个点共有24种排列方法，但是，其交比值只有6种不同。
线束或点集的射影不变量
相交于一点的4条共面线束和4个共线点对偶，因此，共点的4条共面线束也有交比不变量。对于5条共面线存在两个射影不变量：
其中是矩阵的行列式，而是直线的齐次方程的线坐标。由于线点的对偶性，也可以计算出共面5点的
射影不变量，这要求其中任意三点不共线，此时的为点的齐次坐标，这种不变量在计算机视觉中有重要应用。
齐次多项式不变量
对于n元
齐次多项式，设向量X为，对多项式p(X)进行线性变换T有P(X)=p(TX)。P(X)的一个单项式的系数由p(TX)对应的单项式系数确定。如果p(X)，P(X)的系数分别为向量p和P，则有不变量，其中T是变换矩阵，|T|是矩阵T的行列式，w为一实数。
置换不变量
对于一个函数有n个自变量，例如一对二次曲线的一个投影不变量函数I(C1，C2)，其中C1，C2分别为二次曲线向量表示的对应矩阵。给出两个二次曲线的方程及其不变量，但是很难判断C1，C2所对应的二次曲线，为了解决这个问题，可以构造这种不变量的对称函数：
容易得出这种不变量不受C1，C2顺序的影响。
射影微分不变量
射影微分不变量是曲线上关于单点导数和位置的一个非常复杂的函数。它是一个局部不变量，通过研究曲线射影变换前后曲线的曲率、挠率等局部特征的函数关系获得，但是由于这种不变量受噪音影响大、计算复杂，实际应用并不常见。